复合函数知识总结及例题（精编版）.docx

复合函数问题一、复合函数定义： 设 y=f(u) 的定义域为 A，u=g(x) 的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的 y=f［ g(x) ］叫做函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间量 .二、复合函数定义域问题：(1) 、已知 f( x) 的定义域，求 f g( x) 的定义域思路：设函数 f ( x) 的定义域为 D，即 x D ，所以 f 的作用范围为 D，又 f 对 g( x) 作用，作用范围不变，所以g( x)D ，解得 x E ，E 为 f g( x) 的定义域例 1. 设函数 f(u) 的定义域为（ 0，1），则函数 f(lnx) 的定义域为 解析：函数 f (u) 的定义域为（ 0， 1）即 u ( 0， 1) ，所以 f 的作用范围为（ 0， 1）又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以 0 ln x 1解得 x(1， e) ，故函数 f(lnx) 的定义域为（ 1， e）例 2. 若函数 f( x)1 ，则函数 f f x 1(x) 的定义域为 解析：先求 f 的作用范围，由 f( x)1 ，知 x 1x 1即 f 的作用范围为 x R| x1 ， 又 f 对 f(x) 作用所以 f( x)R且 f ( x)1 ，即 f f(x) 中 x应满足x 1f ( x)x 11即 1x 1，解得 x11且x 2故函数 f f( x) 的定义域为 x R| x1且x 2（ 2）、已知 f g( x) 的定义域，求 f ( x) 的定义域思路：设 f g( x) 的定义域为 D，即 x D ，由此得 g( x) E ，所以 f 的作用范围为 E，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x E， E 为 f ( x) 的定义域。

例 3. 已 知 f(3 2 x) 的定义域为 x 1， 2，则函数 f( x) 的定义域为 解析： f(3 2 x) 的定义域为 1， 2，即 x 1， 2，由此得 3 2 x1， 5所以 f 的作用范围为 1， 5，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x 1， 5即函数 f( x) 的定义域为 1， 52例 4. 已知 f ( xx24) lg 2x，则函数 f8( x) 的定义域为 -------解析：先求 f 的作用范围，由 f( x24) lg x ，知2x 2 8x 2x 2 8 0解得 x2 4 4 ，f 的作用范围为 ( 4，) ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x ( 4， ) ，即 f ( x) 的定义域为 (4， )（ 3）、已知 f g( x) 的定义域，求 f h(x) 的定义域思路：设 f g( x) 的定义域为 D，即 x D ，由此得 g( x) E ， f 的作用范围为 E，又 f 对 h( x) 作用，作用范围不变，所以 h( x)E ，解得 x F ， F 为 f h( x) 的定义域例 5. 若函数 f(2 x ) 的定义域为 1， 1，则 f(log 2x) 的定义域为 。

解析： f(2 x ) 的定义域为 1， 1，即 x 1， 1，由此得 21 ， 2x2f 的作用范围为 1 ， 22，又 f 对 log 2x 作用，所以 log 2 x1 ， 22，解得 x 2， 4即 f (log 2 x) 的定义域为 2， 4评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示） f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范围， f 的作用对象可以变，但 f 的作用范围不会变利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨三、复合函数单调性问题（1） 引理证明已知函数 yf ( g( x)). 若 ug( x) 在区间(a,b）上是减函数， 其值域为 (c ，d) ，又函数 yf (u) 在区间 (c,d) 上是减函数，那么，原复合函数y f ( g( x)) 在区间(a, b）上是增函数 .证明：在区间(a, b ）内任取两个数x1 , x2 ，使 a x1 x2 b因为 ug (x)在区间(a,b） 上是 减函数 ，所 以g( x1 )g( x2 ), 记 u1g( x1 ) , u 2g(x2 ) 即u1 u2 ,且u1 , u 2 (c, d )因为函数 yf (u) 在区间 (c,d) 上是减函数，所以f (u1 )f (u 2 ) , 即f (g ( x1 ))f (g ( x2 )) ，故函数 yf (g ( x)) 在区间(a, b）上是增函数 .（ 2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增↗减↘增↗减 ↘增↗减 ↘增↗减 ↘减↘增 ↗y f (u)u g(x)y f ( g( x))以上规律还可总结为： “同向得增，异向得减”或“同增异减” .（ 3）、复合函数 y f ( g( x)) 的单调性判断步骤：ⅰ 确定函数的定义域；ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：y f (u) 与 ug( x) ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数， 或都是减函数） ，则复合后的函数y f ( g( x)) 为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异 （即一个是增函数， 而另一个是减函数），则复合后的函数 y f (g( x)) 为减函数 4）例题演练例 1、 求函数 y1log ( x2 22x 3) 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域x2 2 x 3 0x 3或x 12单调减区间是(3, )设 x1 , x2(3,)且x1x2 则2y1 log 1 (x1222x1 3)y2 log 1 (x222x2 3)2(x12 x1 3)(x22x23) = (x2x1 )( x2x1 2)∵ x2 x1 3∴ x2 x1 0x2 x1 2 01∴ ( x 22x123) > (x22x2 3)又底数 0 1 12∴ y2 y1 0即 y2 y1∴ y 在 (3, ) 上是减函数a同理可证： y 在 (, 1)上是增函数［例］ 2、讨论函数f (x)log (3x22 x 1) 的单调性 .［解］由3x22x 10 得函数的定义域为{ x | x11,或x }.a3则当 a1 时，若 x1 ，∵ u3x22x 1为增函数，∴f (x)log (3x22x 1) 为增函数 .1若 x ，∵ u33x22x 1为减函数 .a∴ f (x)log a(3x22x 1) 为减函数。

当 0 a1 时 ， 若 x1 ， 则f ( x)log(3x22x 1)为 减 函 数 ， 若 x 1 ， 则a3f (x)log (3x22x 1) 为增函数 .例 3、. 已知 y= log a (2-解：∵ a＞ 0 且 a≠ 1当 a＞ 1 时，函数 t=2-a x ) 在［ 0， 1］上是 x 的减函数，求 a 的取值范围 .aax >0 是减函数由 y= log a∴a＞ 1(2-a x ) 在［ 0， 1］上 x 的减函数，知 y= log t 是增函数，由 x ［ 0， 1］时， 2- a x∴1＜ a＜ 22-a ＞ 0, 得 a＜2,a当 00 是增函数由 y= log a∴0

［解析］由已知f ( m 2)0 ，得am2(a 3) m a2 0 ，其中 mR, a0. ∴ 0 即 3a 22a 9 0 ，解得 1 2 73a 1 2 7 .3∵ a 为负整数，∴ a 1.∴ f ( x 2)x 4x 3( x 2) 2 1，即 f ( x)x2 1.g (x)f [ f( x)]( x 21) 2 1x4 2x 2 ，∴ F ( x)pg( x)f (x)px 4( 2 p1) x2 1.假设存在实数p( p0) ，使得F ( x) 满足条件，设x1 x2 ，∴ F ( x1 )F ( x2 )。