04平面向量(学生版).doc

平面向量第 - 1 - 页平面向量一、知识梳理1．向量的概念与线性运算特别提醒： 1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或| |.AB2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 0；零向量的方向不确定.3) 单位向量：长度为 1个长度单位的向量叫做单位向量.4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.5) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.6) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量7)向量共线定理： b∥a（a≠0） b=λ a注：只有当 a≠0 时， b∥a 才是 b=λ a 的充要条件；而当 a=0时， b∥a 是 b=λ a 的必要不充分条件.8) 向量与有向线段的区别：① 向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，就是相同的向量；② 有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段2．平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个__ __向量，那么对于这一平面内的 向1e2量 ， _一对实数 λ 1，λ 2使 =λ 1 +λ 2a ae特别提醒： (1)我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（基底不惟一，关键是不共线） ；12(2)由定理可将任一向量 在给出基底 、 的条件下进行分解；a12(3)基底给定时，分解形式惟一 奎 屯王 新 敞新 疆 λ 1，λ 2是被 ， ， 唯一确定的数量a1e23．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量xy、 作为基底 奎 屯王 新 敞新 疆任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得 ………… ，xy ○ 1我们把 叫做向量 的（直角）坐标，记作 …………),(a ○ 2式叫做向量的坐标表示 奎 屯王 新 敞新 疆 与 相等的向量的坐标也为 奎 屯王 新 敞新 疆 特别地，○ 2 ),(yx， ， 奎 屯王 新 敞新 疆1,0i,1j0(,)4．平面向量数量积（内积）的定 义：（1）已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是 θ ，则数量 叫 与 的数量积，记作 ；ab abab（2）已知两个非零向量 ， ，则 ),(1yx),(2yxba特别提醒：(1)（０≤ θ ≤ π ）.并规定 与任何向量的数量积为 0 奎 屯王 新 敞新 疆 0(2)向量数量积的性质：设 、ab(a)  =  =| |cos；ea(b) 与 同向  = | || |； 与 反向  = | || |；  = | |2或babaa|(c)cos = ； ||(d)|  | ≤ | || |； 重要不等式：a||||A5.向量垂直的判定：设 ， ，则 ),(1yxa),(2yxbba向量平行的判定：设 ， ，其中  ，则 ∥ (  ) b0平面向量第 - 2 - 页 BCAOMD6.两向量夹角的余弦（ ） cos  = 221yx0||ba特别提醒：⑴两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。

⑵ · =0 = 或 = ．abb⑶ · = · （ ≠0） = ．(但 、 在 方向上投影相等)cacba⑷( · )· 与 ·( · )都是无意义的，且( · ) ≠ ( · )cb二、热点考点题型探析考点一： 向量相关的基本概念及加减运算[例 1]判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 　(2)若 a则,(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 　(6)若 ， ，则 ；bc(7)若 ， ，则 　 (8)若四边形 ABCD是平行四边形,则ba/c/a/ DABC,(9) 的充要条件是 且 ；||b/[例 2] （1）在 所在的平面上有一点 ，满足 ，则 与 的面积之ABCPABPC比是 （2）如图，在 ΔABC 中，D、E 为边 AB的两个三等分点， =3a， =2b，求 ， ．CA→ CB→ CD→ CE→ [例 3] 已知 A、B、C、P 为平面内四点，求证：A、B、C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使 =m +n ，且 m+n=1．PC→ PA→ PB→ 引申：已知 A、 B、 C 是直线 上不同的三点，O 是 外一点，ll,记 .求函数 的解析式；23(1)[n(23)]0OxxyC()yfx()yfx考点二： 平面向量基本定理[例 4] 在△OAB 中， ，AD 与 BC 交于点 M，设OBDAOC21,4=a，AB CDE//平面向量第 - 3 - 页PCA BQABCDEFJKLGORIHTM= ， （1）用 , 表示 .（2）段 AC、 BD 上分别取点 E、F，使 EF 过 M 点，OBbabOM设 ， 。

求证： AEBF1731[例 5]如图，已知矩形 ORTM 内有 5 个全等的小正方形，其中顶点 A、B、C、D 在矩形 ORTM 的四条边上.（1 ）若 ，求 的值；BDxAEyFxy（2 ）若矩形 ORTM 的边长 OR=7，OM=8，试求小正方形的边长；考点三: 向量平行的充要条件[例 6]已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5) 及 ，求(1)t 为何值时，P 在 x轴上？P 在 y轴ABtOP上？P 在第二象限 (2)四边形 OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的 t值；若不能，请说明理由[例 7]如图，设 P、Q 为△ABC 内的两点，且 ， ＝ ＋ ，则△ ABP的215APBCAQ23B14A面积与△ ABQ的面积之比为 考点四：平面向量数量积的运算[例 8] 23120oab已 知 ， ， 与 的 夹 角 为 ， 求； 1 3ab（ ） ； （ ） ； （ ） (） （ ） 4ab（ ）引申：（2011 湖南）在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 设 2,3,BCDAE则 B．平面向量第 - 4 - 页[例 9]已知 ,且关于 的方程 有实根,则 与 夹角的范围是 |2|0abx2|0axbab提醒：（1）设非零向量 = ， = ，且 ， 的夹角为钝角，则 的取值范围是 ax2,b2,3xabx（2）已知 ， ,如果 与 的夹角为锐角,则 的取值范围是 ),()([例 10]（广东恩城中学 2009届高三上学期期中考试）在 △ABC 中，已知 ．1,ABC2B(1)　求 AB边的长度；(2) 证明： ；（3）若 ,求 ．tan2tAB|2|考点五: 平面向量与三角函数、函数等知识的综合应用[例 11] O 为平面直角坐标原点，已知向量 ，又点(1,2)a(8,0),(sin,)(0)2ABtCkt(1)若 且 ，求向量 ；,ABa|5|OAB(2)若向量 与向量 共线，当 时，且 取最大值为 4时，求Ck4sintO变式：（2009 江苏）在 ΔABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM=2，则 的最小值为 .()OABC[例 12]已知向量 ， （其中实数 和 不同时为零） ，当 时，有 ，当2(3,1)(,)axbxyyx|2xab时， ． (1) 求函数式 ； （2）求函数 的单调递 减区间；|2x/bf()f（3）若对 ，都有 ，求实数 的取值范围．,][,30mmOM CB A。