热物理过程的数值模拟-计算传热学3.docx

热物理过程的数值模拟-计算传热学3 四、非线笥问题迭代式解法的收敛性每一层次上满意迭代法求解的收敛条件+相邻次间代数方程的系数改变不太大〔亦即未知量的改变不太大←多数情形下非线性问题迭代式解法是可以收敛的〕使相邻两层次间未知量改变不太大的措施： 1、欠松弛迭代 常用逐次欠弛线迭法〔SLUR〕：一组临时系数下逐线迭代求解+对所得的解施以欠松弛，再用欠松弛后的解去计算新的系数，常数，以进入下一层次的迭代实施：常把欠松弛处理纳入迭代过程，而不是在一个层次迭代完成后再行欠松弛 t(pn?1)?t(pn)??(ap?anbtnb(n)?tp) apapt(pn) (?)t(pn?1)??anb?tnb?b?(1??)?a'pt(pn?1)??anbtnb?b'a'p?ap?,b'?b?(1??)(ap?)t(pn)，用交替方向线迭代法求解这一方程，就实现了SLUR的迭代求解为一般化起见，上式中tnb上没有标以迭代层次的符号〔J，GS时不一样〕 2、采纳拟非稳态法前面已指出，稳态问题的迭代解法与非稳态问题的步进法非常相像对于非线性稳态问题，从代数方程的一组临时系数进入到另一组临时系数亦好象非稳态问题前进了一个时间层，非稳态问题的物理特性：系数热惯性越大〔ap??c?v/???〕，温度改变越慢，仿此，对稳态非线性问题，可在离散方程中参加拟非稳态项，以减小未知量托两个层次间的改变，即 由 (n?1)o(n)(?anb?Sp?V)t(pn?1)??anbtnb?b?(?anb?Sp?V?ao)t??abtb?b?appnnptp(n)?anbtnb?b?aoptpot(pn?1)??anb?Sp?V?aop始终进展到tp,tnb收敛，虚拟时间步??的大小通过计算实践确定。

3、采纳Jacobi点迭代法中止迭代的判据〔该层次迭代〕除前述改变率判据外，还可以规定迭代的轮数，例如规定进展4-6次ADI线迭代就完毕该层次上的计算此时，用收敛速度低的丁迭代也就起到了欠松弛的作用五、迭代法的收敛速度 1、收敛速度对给定的代数方程组〔包括是临时系数的情形〕，采纳不同的迭代方法求解时，使必须的初始误差缩小成?倍所须要的迭代轮数K是不相的1 e(k)?Gke(0)?Gke(0)2因为G是对称的，所以G所以??(GTG)??(G2)??(G)2e(k)2?Gk/e(0)22e(0)??(G))ke(0)2??e(k)2?(?(G))k,ln??kln?(G)即 k?ln?/ln?(G)??ln?/(?ln?(G)) ?,?(G)均<1 对于给定的?，所需迭代轮数k与?ln?(G)成反比，规定用R??ln?(G)表示迭代法的收敛速度，那么k??ln?/RorR??ln?/k即所需迭代轮数与收敛速度成反比，收敛速度又与谱半径成反比，收敛速度愈快，迭代轮数愈少留意：不同的迭代方法每进展一轮迭代所需的运算次数不同，最终所需的计算时间的多少取决于迭代轮数及每一轮迭代所需的时间2、收敛性的定性分析为什么不同的迭代方法的收敛速度不同，亦即为到达满意必须精度要求所需的迭代轮数不同？以二维常物性、无内热源、稳态导热问题来进展探讨。

?2t?'t??0 ?x2?y21B、C aptp?aEtE?awtw?aNtN?aStS tTB 迭代法须要假定一个初场，例如假定一个均场，从微分方程为看，匀称是其一个解，但却不是所探究问题的解，为什么？因为它虽然满意内部节点上的离散方程，却不满意与边界有关的节点的离散方程〔图中红点〕，即不满意边界条件所以迭代法的实质是要通过迭代，尽快建立起与边界条件相适应的?变量场， j y twB tRB i x tBB关键：必需使B、C的影响快速传入计算区域内部，以改良节点?变量值，尽快与B、C相应，B、C的影响传入愈快，靠近真解就愈快，收敛就越快！B、C的影响传入计算区域内部的快慢与哪些因素有关？ 〔1〕与迭代方法有关J迭代：节点温度的更新均用上轮迭代所得的“旧”值来计算，所以完成一轮迭代后，B、C的影响只能传入与边界相邻的一批节点上，即仅可传入一个网格，且扫描方向与收敛快慢无关要在以后各轮迭代中，B、C的影响才由这些节点逐步向内渗透，所以收敛慢GS迭代：假设从左向右扫描，那么每做完一轮迭代，左边界和下边界的影响传遍全区域，而右边界的影响只能传入一个网格，且收敛速度受迭代扫描方向的影响。

线迭代：GS线迭代自左→右扫描，完成一轮迭代不仅左边界的影响逐步传入，而且在每一列的干脆求解中，上、下边界的影响全部传入到该列的各节点上，即一轮迭代使左、上、下边界影响传入全区域，但右边界影响仍仅传入一个网格ADI：一轮迭代包括一次逐行、一次逐列的扫描；所以在每一轮迭代后全部边界的影响均传入计算区域内部，从而加快了收敛速度收敛速度的比拟，正方形区域，1B、C，Laplace方程五点格式，匀称网格步长为h迭代方法 Jacobi Gouss-Seidel SOR〔2〕与边界条件的性质有关 t tw x t 定向tf 点 点迭代 h2/2 h2 2h 线迭代 h2 2h2 22h t tw tw λ/l x x 1B、C规定了边界节点的温度，影响干脆传入计算区域内部； 3B、C规定了环境温度及定向点位置，??tl?x?t?t?，对边界温度的限定程度比1B、C时弱，所以对内部的影响也较弱；或将tf视为外部温度，其对计算区域内部的影响被外部换热热阻减弱，而1B、C可视为???或外部热阻?0的极限状况，故3B、C的影响比1B、C时弱2B、C仅规定了壁面的钭率，壁温完全不确定，对内部节点温度值的改良供应的信息最少，收敛最慢。

可见，为了提高代数方程迭代解法的收敛速度，应力求使边界条件的影响快速传入计算区域内部，措施：①增加迭代解法中干脆解法的成分，从点迭代→线迭代→ADI；②适中选择扫描的始边，多以1B、C或3B、C的边界为始边，少以2B、C〔尤其是绝热边界〕为扫描始边 5-4 不规那么区域的处理—网格生成技术 如何对不规那么区域进展有效的处理，以便于进展传热与流淌过程的数值模拟，是近年来计算传热探究中的一个重要课题以上探讨的传热过程大都发生在规那么而简洁的区域中，但很多实际的热传递现象是在不规那么的区域中进展的，例如：①套片管中肋片的传热 ②渐扩通道中的流淌与换热 ③环形空间中的自然对流 ④流体外掠管束 以上四种情形中的流淌与换热不是直角坐标、圆柱轴对称坐标或极坐标所能便利地予以描述 虽然有限元法在处理不规那么边界方面显示了极大的优越性，但就流淌与传热而言，在计算技巧与方法方面，有限差分法都比有限元法成熟用有限差分法处理这类问题的方法可以归纳为以下几种 1、采纳阶梯形边界〔网格〕用阶梯形边界近似代替四分之一圆弧边界阶梯形边界〔网格〕是采纳有限差分法计算不规那么区域的最平凡的方法。

缺点：程序缺少通用性；曲面边界上网格必需划得比拟细密〔否 那么会引起较大误差〕 2、采纳区域扩大法当计算区域的边界不规那么程度不很紧要时，可以采纳区域扩大法，把计算区域扩大为直角坐标，圆柱坐标等常规正交坐标系中易于描述的形态条件：保证原计算区域的状况不变！’ α,tf ② ① q v=实际值 v=1030 流淌：把计算区域扩大到图中虚线所示的整个圆形通道，从而可以应用圆柱轴对称坐标系中的限制方程加以描述如何保证原来的状况不变？孔板区视为粘性无限大的“流体”，而其余区域的流体粘性值就等于真实值，边界上流速赋为零，计算中零边值将快速传到孔板区域内，有效地模拟了孔板的存在传热：对三种不同的边界条件，详细的处理方式不同 〔1〕匀称壁温边界条件令扩大区域中的导热系数为无限大，而扩大后的区域边界温度那么等于确定值 〔2〕绝热的边界条件 q 令扩大区域中的材料导热系数为零即可实现此条件 〔3〕匀称热流边界条件可应用附加源项法来实现，真实边界上匀称热流可以附加源项的形式置于与真实边界相邻的限制容积中去，而扩大区域那么处于绝热状态周期性二维渐扩、渐缩通道中的换热，倾斜的边界上实际边界 作用有匀称的热流。

采纳左下所示阶梯形网格，并把计算d p 区域扩大到一个长方形，以便利用直角坐标系求解 δ e a 看一个网格单元的放大后的情形，P限制容积的附加计算 λ扩≡0 q 边界 源项为 q c bSad?qLof/?VabcdLef—实际边界与限制容积P的两条边界相交局部的长度；?Vabcd—限制容积P的体积扩大区域?扩?0，那么控容P中的附加源项Sad不会向扩大区域传递，从而实现了实附边界上的匀称热流加热条件〔4〕外部对流换热边界条件，l?tf依据附加源项法，此时P限制容积的两个附加源项为Sc,ad?tf1/???/??V?LofSp,ad??L1?e1/???/??V?—网格节点P到实际边界的距离?扩?0区域扩大法的优点：可以用按规那么区域编制的通用程序来计算非规那么区域的问题；易于实施缺点：奢侈一些计算机内存及计算时间 5 3、采纳三角形网格 4 e f 外节点法对于不规那么区域中的导热问题，采纳三角形网格可以得d 到比拟满足的结果从不规那么区域的三角形网格中划出围绕节点P的多边形来分析3 c 确定节点P所代表的限制容积：①三角形外心作为控容的顶点，要求：b 三角形为锐角三角形，以保证外心必须在三角形内；2 ②以三角形重心作为控容的顶点，对三角形形态无限制；外心为限制6 1 容积顶点，P限制容积如下图，各局部平均导热系数分别为?a,?b,?c,??f，用限制容积能量平衡法建立离散方程。

P-1之间的热导cp1??a/La1'/Lp1??bLb1'/Lp111Lp1cot?1Lb1'?Lp1cot?2 22111所以Cp1??acot?1??bcot?2?(?acot?1??bcot?2)2221常物性时，Cp1??(cot?1?cot?2)2La1'?其它各节点〔2-6〕与P节点之间的热导亦按上式计算，而只需把?1,?2改换成相应顶角即可，P限制容积的热容：变物性时，图示各部阴影局部的热容量之和由限制容积P的热平衡可得?(?c?Vip,ii)?(?c?V)itp?top????Cpi(ti?tp)?S(?Vp)i常物性时，上式变为?c?Vptp?top????Cpi(ti?tp)?S(?Vp)i以上二式右端温度值的时层未标出，它取决于所采纳的格式 边界条件的处理：第一类边界条件，无需特地处理；其次、三类B、C边界上的节点，须要仿上述方法建立补充方程和图其次、三类边界上的节点P的限制容积 b 2 1 β2 a c d β4 3 P 1,tf Cp1?Cp211?bcot?1,Cp3??ccot?3 221?(?bcot?2??ccot?4) 2 边界参加热量那么计入到P限制容积的源项中，对第三类边界条件，传入热量?(tf?tp)Lad，其中tp的时层取决于所采纳的格式。

Winslow指出，当导热系数为常数时，三角形网格所建立的离散方程的系数矩阵具有正定性，可用SOR求解；导热系数与温度有关时，为求迭代收敛，不宜采纳SOR，且两次迭代之间的Cpi可用欠松弛 依据实际问题的须要，可以采纳三角形网格与矩形网格的组合构造，例如二维纵向肋片管三角形网格的缺点：节点位置确实定、编号，节点间距的计算比拟费时程序比拟困难 内节点法：以每个三角形的外心为节点，其余同上 4、组合。