第八章 概率8.2.1随机变量及其分布列第一课时 ◆ 教学目标 1．通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念．2．理解取有限值的离散型随机变量的概率分布的概念，会求简单的离散型随机变量的概率分布．3．理解两点分布(0-1分布)．◆ 教学重难点重点：理解离散型随机变量及其分布列的概念，求解简单离散型随机变量的概率分布．难点：从函数的角度理解随机变量．◆ 教学过程一、情境导入为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在34个省级行政区中，随机抽取6个进行突击检查，抽取到的省级行政区只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω.(1) Ω中包含的样本点数目是多少？(2) 设抽得的省级行政区中直辖市个数为X，那么对Ω中的每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？分析：(1) 借助组合的知识，可知Ω所包含的样本点数目为C.(2) 我国只有北京市、上海市、天津市、重庆市这4个直辖市，而随机选取的是6个省级行政区，因此对样本空间Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值，但对不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0,1,2,3,4中的任意一个．二、新知探究问题1：根据以上情境，试分析样本点与实数之间是否存在对应关系？答案：因为对每一个样本点，变量X都可取实数0,1,2,3,4中的一个值，即样本点与实数0,1,2,3,4之间存在某种对应关系，也即样本空间与实数集之间存在某种对应．例如：(1) 在一块地里种下10棵树苗，用实数m(m＝0,1,2,…，10)表示“成活树苗的棵数”；(2) 抛掷两颗骰子，观察向上的点数，样本空间为Ω＝{(x,y)|x,y＝1,2,…，6}，用x＋y表示“两颗骰子向上的点数之和”，那么样本点(x,y)就与实数x＋y对应；(3) 接听一个，用t(t∈(0,＋∞))表示“通话时长”．有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值，例如：(4) 抛掷一枚硬币，将试验结果“正面向上”用1表示，“反面向上”用0表示；(5) 抽查学生的某项体育测试成绩，将成绩登记为优、良、中、及格、不及格分别用数值5,4,3,2,1来表示．由此可以看出，对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应，这时我们可通过引入一个取值依赖于样本点的变量X(如“问题情境”中的X)，来建立样本点和实数的对应关系，从而实现了样本点的数量化．追问：样本点所对应的变量X的取值，是否有一定规律？答案：由于随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性．一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X为随机变量．通常用大写英文字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示随机变量，而用小写英文字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．例如，上面(1)中用变量X表示成活树苗的棵数，则X的可能取值为0,1,2, …， 10，共11个问题2：结合以上定义，随你能尝试从函数的角度来理解随机变量吗？答案：(1) 随机变量的取值X(ω)随着试验结果(样本点)ω的变化而变化，其取值依赖于样本点，并且所有可能取值是明确的．(2) 类比函数理解随机变量：随机变量是建立在Ω到R的对应，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同的是Ω不一定是数集．思考: 下列变量中哪些是随机变量？如果是随机变量，那么可能的取值有哪些？(1) 一个实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为X；(2) 明天的降雨量L(单位：mm)；(3) 先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数X.答案: (1) 根据条件可知， X是随机变量，可能的取值是1,2,3,4.(2) 降雨量具有一定的随机性，所以L是随机变量，可能的取值有无数多个，可以是[0,+∞)内的某个数.(3) 用H表示“正面向上”，T表示“反面向上”，则样本空间为{HH,HT,TH,TT}．正面向上(即出现H)的次数X是随机变量，取值是0, 1, 2.追问：观察以上各随机变量的取值，你能发现他们有什么不同？答案：由上例可知，(1)中X的可能取值为1,2,3,4，共有4个值，(3)中X的可能取值为0,1,2，共有3个值，他们的取值都是一些离散的数值，而(2)中取值为连续的实数区间。
像（1）（3）这种取值为离散的数值的随机变量称为离散型随机变量．而像(2)中取值为连续的实数区间的这种随机变量称为连续型随机变量．问题3：引入随机变量后，我们可以用随机变量的不同取值代表不同的样本点，那么由多个样本点构成的复杂的随机事件又怎样表示呢？答案：不同的随机事件，都可以用随机变量的取值或取值范围来表示．比如以上例子 (1)中随机事件“从装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠的实验箱中任取1只，取到1号白鼠”可以表示为{X＝1}，而随机事件{X＜3}表示“从装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠的实验箱中任取1只，取到1号或2号白鼠”．比如以上例子（2）中随机事件“明天的降雨量L在50mm到100mm之间”就可以用{50100}则表示降雨量超过100mm．追问：类似的，试结合以上例子（2）表示“明天的降雨量L在50mm到100mm之间”和“明天的降雨量L超过100mm”这两个随机事件．答案：随机事件“明天的降雨量L在50mm到100mm之间”可以表示为{50100}．问题4：既然随机事件可以用随机变量表示，那么随机事件发生的概率是否就可以用随机变量的取值的概率来表示呢．答案：可以．例如，掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，X的可能取值为1,2,3,4,5,6，则事件“掷出5点”可以表示为{X＝5}，事件“掷出的点数不大于3”可以表示为{X≤3}，事件“掷出奇数点”可以表示为{X＝1}∪{X＝3}∪{X＝5}，等等．由掷出各种点数的等可能性，可得P(X＝m)＝，m＝1,2,3,4,5,6.这一规律可以用下表来描述．X123456P一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1,x2,…，xn，且P(X＝xi)＝pii＝1,2,…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．也可以将①用下表的形式来表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn我们将此表称为随机变量X的概率分布表．它和①都叫作随机变量X的概率分布．追问：你觉得这样用离散型随机变量的概率分布（列、表）来表示随机事件发生的概率有什么好处？答案：随机变量的概率分布不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机变量的数字特征(均值、方差)的基础．追问：随机变量的概率分布给出了随机试验所有基本事件对应的概率，试结合概率的基本性质，写出这里pi满足的条件．答案：①pi≥0; ②p1＋p2＋ … ＋pn＝1.以上①②即为离散型随机变量的概率分布的两个性质．利用这两个性质可以：(1)检查写出的分布列是否正确；(2)在求分布列中的某些参数时，可以利用其概率和为1这一条件列出方程求出参数．三、应用举例例1. 写出下列随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1) 袋中有大小相同的10个红球和5个白球，从袋中每次任取1个球， 取后不放回， 直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数．(2) 从分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片中任取2张，所取2张卡片上数字之和．师生活动：引导学生认真读题、理解题意，正确写出随机变量可能的取值．解：(1) 设所需要的取球次数为X，则X＝1, 2, 3, 4, …， 10, 11. X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球， 第i次取到白球， 这里i＝1, 2, 3, 4, …， 11.(2) 设所取2张卡片上的数字之和为X，则X＝3, 4, 5, …， 11.X＝3，表示“取出标有数字1, 2的两张卡片”；X＝4，表示“取出标有数字1, 3的两张卡片”；X＝5，表示“取出标有数字2, 3或1, 4的两张卡片”；X＝6，表示“取出标有数字2, 4或1, 5的两张卡片”；X＝7，表示“取出标有数字3, 4或2, 5或1, 6的两张卡片”；X＝8，表示“取出标有数字2, 6或3, 5的两张卡片”；X＝9，表示“取出标有数字3, 6或4, 5的两张卡片”；X＝10，表示“取出标有数字4, 6的两张卡片”；X＝11, 表示“取出标有数字5, 6的两张卡片”．追问：你能结合该题，总结一下用随机变量表示随机试验结果的关键点和注意点吗？答案：(1) 关键点：明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果(样本点)．(2) 注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．例2. 先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设正面向上的次数为X，求随机变量X的概率分布．解：用H表示“正面向上”，T表示“反面向上”，可得下图：故随机变量X的概率分布如下表：X012P追问：根据以上举例，你可以尝试总结一下求离散型随机变量分布列的基本步骤吗？答案：① 确定X的可能取值xi(i＝1,2,…，n)，以及取每个值表示的意义；② 求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,…，n)；③ 列成表格的形式．注意：写好分布列后，注意验证所有概率之和是否为1.例3.从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X表示“取到的白球个数”，则X的取值为0或1，即X＝求随机变量X的概率分布.解：由古典概型的知识，得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝.故随机变量X的概率分布如下表所示．X01P追问：观察一下，本题中的随机变量的取值有什么特点？答案：本例中，随机变量X只取两个可能值0和1.像这样的例子还有很多，例如：在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”；等等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为X～0—1分布或X～两点分布．此处“～”表示“服从”．两点分布是一个重要的概率模型，一般地，两点分布如下表所示：X01P1－pp四、课堂练习1．下列叙述的量中，是离散型随机变量的为( )A. 将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B. 某人早晨在车站等出租车的时间C. 连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D. 袋中有2个黑球和6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性分析：选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量；选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量；选项C，是随机变量，其取值为1, 2, 3, …，所以是离散型随机变量；选项D，事件发生的可能性不是随机变量．故答案为C．2．袋中有大小相同的6个红球和5个白球，从袋中每次任意取出一个球(取出的球不放回)，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )A. 1, 2, …， 6 B. 1, 2, …， 7C. 1, 2, …， 11 D. 1, 2, 3, …分析：可能第一次就取到白。
