《中考课件初中数学总复习资料》专题11 一元二次方程及其应用（解析版）.docx

专题11 一元二次方程及其应用1．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程2．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项3．一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根4．一元二次方程的解法（1）直接开方法：适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p2）配方法：套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①将已知方程化为一般形式； ②化二次项系数为1； ③常数项移到右边；④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p√q；如果q＜0,方程无实根．（3）公式法：当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

其中：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac①Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根②Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根③Δ=b2-4ac＜0时，方程无实数根定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法主要用提公因式法、平方差公式5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤第1步：审题认真读题，分析题中各个量之间的关系；第2步：设未知数根据题意及各个量的关系设未知数；第3步：列方程根据题中各个量的关系列出方程；第4步：解方程根据方程的类型采用相应的解法；第5步：检验检验所求得的根是否满足题意第6步：答例题1】（2020•临沂）一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　）A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝2+2，x2＝2﹣2 D．x1＝23，x2＝﹣2【答案】B【分析】方程利用配方法求出解即可．【解析】一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0，移项得：x2﹣4x＝8，配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，开方得：x﹣2＝2，解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2．【对点练习】（2019•浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（ ）A.(x-3)2=17 B.(x-3)2=14 C.（x-6)2=44 D.(x-3）2=1【答案】A【解析】配方法解一元二次方程∵x2-6x-8=0，∴x2-6x+9=8+9，∴（x-3）2=17.【点拨】本题体现直接配方法解一元二次方程。

对点练习】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是　　．【答案】x1＝，x2＝．【解析】直接利用公式法解方程得出答案．3x2＝4﹣2x3x2+2x﹣4＝0，则b2﹣4ac＝4﹣43（﹣4）＝52＞0，故x＝，解得：x1＝，x2＝．【点拨】本题体现求根公式法解一元二次方程例题2】（2020•菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　）A．3 B．4 C．3或4 D．7【答案】C【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．【解析】当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣43+k＝0，解得：k＝3；当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣41k＝0，解得：k＝4，此时两腰之和为4，4＞3，符合题意．∴k的值为3或4．【对点练习】(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（ ）A. 34 B.30 C.30或34 D.30或36【答案】A.【解析】分两种情况讨论：① 若4为等腰三角形底边长，则a，b是两腰，∴方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根，∴△=(-12)2-41(m+2)=136-4m=0,∴m=34.此时方程为x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.∴三边为6，6，4，满足三边关系，符合题意.② 若4为等腰三角形腰长，则a，b中有一条边也为4，∴方程x2-12x+m+2=0有一根为4.∴42-124+m+2=0，解得，m=30.此时方程为x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.∴三边为4，4，8，不满足三边关系，故舍去.综上，m的值为34.【例题3】（2020贵州黔西南）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）A. m＜2 B. m≤2 C. m＜2且m≠1 D. m≤2且m≠1【答案】D【解析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．解：因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．【点拨】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．【对点练习】（2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1【答案】【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得：m≤1．【例题4】（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）A．3520﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．3520﹣35x﹣220x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【答案】C【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．【对点练习】（2019哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　）A．20% B．40% C．18% D．36%【答案】A．【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a（1﹣x）2＝b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键．设降价的百分率为x根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16解方程得，（舍）∴每次降价得百分率为20%【点拨】本题体现直接开方法解一元二次方程。

一、选择题1．（2020•凉山州）一元二次方程x2＝2x的根为（　　）A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2【答案】C【分析】移项后利用因式分解法求解可得．【解析】∵x2＝2x，∴x2﹣2x＝0，则x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，2．（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝4 D．k＝2【答案】C【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．【解析】∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣k）2﹣414＝0，解得：k＝4．3．（2020•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（　　）A．k＜1/4 B．k≤1/4 C．k＞4 D．k≤1/4且k≠0【答案】B【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣41（k2+2k）≥0，解得：k≤1/4．4．（2020•泰安）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解析】∵x2﹣8x﹣5＝0，∴x2﹣8x＝5，则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴a＝﹣4，b＝21，5．（2020•黑龙江）已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（　　）A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1【答案】B【分析】把x＝2+代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．【解析】根据题意，得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，解得m＝16．（2020•滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2/2-（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定【答案】B【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．【解析】x2/2-（k+5）x+k2+2k+25＝0，△＝[﹣（k+5）]2﹣4（k2+2k+25）/2＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，所以方程没有实数根.7. （2019•湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　）A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1【答案】B．【解析】等量关系为：2016年贫困人口（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：二、填空题8．（2020•辽阳）若关于x的一元二次方程x2。