2013全国硕士研究生入学考试《数学2》真题.docx

2013全国硕士研究生入学考试《数学2》真题注意：图片可根据实际需要调整大小卷面总分：19分答题时间：240分钟试卷题量：19题练习次数：1次 单选题 （共8题，共8分）1.设函数则（　　） A.x＝π是函数F（x）的跳跃间断点 B.x＝π是函数F（x）的可去间断点 C.F（x）在x＝π处连续但不可导 D.F（x）在x＝π处可导 正确答案： C 本题解析： 由定积分的几何意义知，F（π－0）＝F（π）＝F（π＋0），所以F（x）在x＝π处连续而 ∵F－′（π）≠F＋′（π），∴F（x）在x＝π处不可导故F（x）在x＝π处连续但不可导 2.设其中函数f可微，则（　　） A.2yf′（xy） B.－2yf′（xy） C.2f（xy）/x D.－2f（xy）/x 正确答案： A 本题解析： 由有所以 3.设cosx－1＝xsinα（x），其中|α（x）|＜π/2，则当x→0时，α（x）是（　　）。

A.比x高阶的无穷小 B.比x低阶的无穷小 C.与x同阶但不等价的无穷小 D.与x等价的无穷小 正确答案： C 本题解析： 4.设函数y＝f（x）由方程cos（xy）＋lny－x＝1确定，则＝（　　） A.2 B.1 C.－1 D.－2 正确答案： A 本题解析： 由方程cos（xy）＋lny－x＝1，可解出当x＝0时，y＝1在方程两端对x求导，有 {图}∴ 5.设函数若反常积分收敛，则（　　） A.α＜－2 B.α＞2 C.－2＜α＜0 D.0＜α＜2 正确答案： D 本题解析： 考虑积分 当α－1≤0，即α≤1时，为普通积分，积分自然存在；当α－1＞0时，为无界函数的反常积分。

且当α－1＜1，即α＜2时收敛，当α－1≥1，即α≥2时发散无穷区间上的反常积分当α＞0时，此反常积分收敛，α≤0时发散由以上分析知，若反常积分收敛，则有0＜α＜2，因此选择D项 6. A.I1＞0 B.I2＞0 C.I3＞0 D.I4＞0 正确答案： B 本题解析： 7.设A，B，C均为n阶矩阵，若AB＝C，且B可逆，则（　　） A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 正确答案： B 本题解析： A（β1，β2，…，βn）＝（γ1，γ2，…，γn），Aβi＝γi（1≤i≤n），即C的列向量组可由A的列向量组线性表示∵B可逆，∴A＝CB－1，A的列向量组可由C的列向量组线性表示。

矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组能相互线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 8. 矩阵与相似的充分必要条件为（　　） A.a＝0，b＝2 B.a＝0，b为任意常数 C.a＝2，b＝0 D.a＝2，b为任意常数 正确答案： B 本题解析： 由于A和B相似，则A和B的特征值相同∴A和B的特征值为λ1＝0，λ2＝b，λ3＝2∴ ∴a＝0且R（A）＝R（B），当a＝0，b为任意常数时，有R（A）＝R（B）反之当b为任意常数，a＝0时，有A和B相似 填空题 （共2题，共2分）9.设A＝（aij）是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij＋Aij＝0（i，j＝1，2，3），则|A|＝ 正确答案： －1 本题解析： 暂无解析 10.设封闭曲线L的极坐标方程为r＝cos3θ（－π/6≤θ≤π/6），则L所围平面图形的面积是 正确答案： π/12 本题解析： 暂无解析 问答题 （共9题，共9分）11.设平面内区域D由直线x＝3y，y＝3x及x＋y＝8围成，计算 正确答案： 本题解析： 线x＋y＝8与直线y＝3x和x＝3y分别交于点（2，6）和（6，2），直线x＝2将区域D分为D1和D2两部分（如图1所示），则有 说明:说明:13-1 12.设当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC－CA＝B，并求所有矩阵C。

正确答案： 本题解析： 由AC－CA＝B可知，若C存在，则必须是2阶的方阵 设则AC－CA＝B变形为可得到线性方程组若要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下故当a＝－1，b＝0时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC－CA＝B此时，故方程组的通解为也就是满足AC－CA＝B的矩阵C为 13.当x→0时，1－cosx·cos2x·cos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值 正确答案： 本题解析： 14. 正确答案： 本题解析： 15.设奇函数f（x）在[－1，1]上具有二阶导数，且f（1）＝1，证明：（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）＝1；（Ⅱ）存在η∈（－1，1），使得f″（η）＋f′（η）＝1 正确答案： 本题解析： 证明：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），于是f（0）＝0。

令φ（x）＝f（x）－x，运用罗尔中值定理，∵φ（0）＝0，φ（1）＝0，φ（0）＝φ（1），∴?ξ∈（0，1）使φ′（ξ）＝0而φ′（x）＝f′（x）－1，∴f′（ξ）＝1Ⅱ）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），?－f′（x）＝－f′（x），即f′（x）为偶函数又∵f′（x）为偶函数，∴f′（－ξ）＝1令h（x）＝ex[f′（x）－1]∵h（－ξ）＝h（ξ）＝0，∴?η∈（－ξ，ξ）?（－1，1），使h′（η）＝0而h′（x）＝ex[f′（x）－1]＋exf″（x）＝ex[f′（x）＋f″（x）－1]，且ex≠0∴f″（η）＋f′（η）＝1 16.求曲线x3－xy＋y3＝1（x≥0，y≥0）上的点到坐标原点的最长距离与最短距离 正确答案： 本题解析： 17. 正确答案： 本题解析： 18.设曲线L的方程为y＝x2/4－lnx/2（1≤x≤e）Ⅰ）求L的弧长；（Ⅱ）设D是由曲线L，直线x＝1，x＝e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标。

正确答案： 本题解析： 19. 正确答案： 本题解析： 。