2.4线段的垂直平分线.ppt

三角形三角形本章内容第第2章章 线段的垂直平分线线段的垂直平分线本课内容本节内容2.3动脑筋动脑筋 如图， 人字形屋顶的框架中，点A 与点A′关于线段CD 所在的直线l对称，问线段CD 所在的直线l 与线段AA′有什么关系？说一说说一说我发现AD=A′D， l⊥AA′.我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图 已知点A与点Ａ′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点Ａ′重合，AD=A′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直线段AA′．说一说说一说 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（perpendicular bisector）. 线段是轴对称图形， 线段的垂直平分线是它的对称轴.探究探究 如图， 段AB 的垂直平分线l上任取一点P， 连接PA，PB，线段PA, PB之间有什么关系？ 作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB 的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA= PB.做一做做一做已知：CD⊥AB于O，AO=BO，点P在CD上，连结PA，PB.求证：PA=PB.证明： ∵ CD⊥AB ∴ ∠POA=∠POB在△POA和△POB中PO=PO∠POA=∠POBAO=BO∴△POA ≌ △POB（SAS）∴PA=PB结论结论线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.几何语言：几何语言：∵CD⊥AB,AO=BO∴PA=PB动脑筋动脑筋 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB 两端的距离PA与PB相等，那么点P段AB的垂直平分线上吗？(1) 当点P段AB上时，因为PA = PB， 所以点P为线段AB的中点，显然此时点P段AB的垂直平分线上.动脑筋动脑筋（2） 当点P段AB外时,如图, 因为PA =PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P 作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC = BC.因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也段AB的垂直平分线上.结论结论到线段两端距离相等的点段的垂直平分线上.几何语言：几何语言：∵PA=PB∴点P段AB的垂直平分线上举举例例例例1 已知：如图，在△ABC中，AB，BC 的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证： 点O在AC的垂直平分线上.举举例例证明∵ 点O段AB的垂直平分线上， ∴ OA = OB.同理OB = OC. ∴ OA = OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上.练习练习已知：如图，点C，D 是线段AB 外的两点， 且AC =BC，AD =BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO.证明：∵AC=BC ∴点C段AB的垂直平分线上 ∵AD=BD ∴点D段AB的垂直平分线上 ∴CD是线段AB的垂直平分线 ∴AO=BO例2 △ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F.求证：BE=CF.举举例例证明：连接BD和CD∵DM垂直平分BC∴BD=CD∵D是∠BAC平分线上的点， 且DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF ，△BDE和△CFD是Rt△在Rt△BDE和Rt△CFD中BD=CDDE=DF∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)∴BE=CF举举例例做一做做一做如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线. 根据“到线段两端距离相等的点段的垂直平分线上”， 要作线段AB的垂直平分线， 关键是找出到线段AB两端距离相等的两点.做一做做一做作法①分别以点A，B 为圆心， 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C 和点D；②过点C,D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB 的中点， 所以可以用这种方法作出线段的中点.做一做做一做动脑筋动脑筋如何过一点P 作已知直线l 的垂线呢？(1)当点P在直线l上.(2) 当点P在直线l外.动脑筋动脑筋①在直线l 上点P 的两旁分别截取线段PA， PB，使PA= PB；(1)当点P在直线l上.②分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C；③过点C， P作直线CP， 则直线CP为所求作的直线.动脑筋动脑筋(2) 当点P在直线l外.①以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段长为半径画弧， 交直线l于点A，B；②分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C；③过点C,P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.小结与复习小结与复习1. 线段的垂直平分线的性质是什么？2. 线段的垂直平分线的判定是什么？中考中考 试题试题例例1 如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝ 2∠B，求证：BD＝AC＋CD. 证明：在BD上取DE=CD，连接AE，则△ACD ≌△ADE ∴AC=AE， ∠C=∠AED=∠B+∠EAB 又∵∠C=2∠B，∴∠B=∠EAB，有AE=EB ∴AC+CD=AE+DE=EB+DE=BDE结结 束束。