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第十五章 分析静力学分析静力学主要研究受约束的质点、质点系、刚体、 刚体系在力系作用下的平衡规律是研究平衡问题的最 一般的原理在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通 过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体 及刚体系统的平衡问题，称为矢量静力学与分析力学的另一个原理，达朗伯原理相结合，就 可以将静力学的结论扩展到动力学领域Date1理论力学CAIoF2F1 ab虚位移原理的思想：几何静力学的平衡方程Date2理论力学CAIoF2 F1ab功能原理的方程利用动能定理得到与几何静力学同样的平衡条件Date3理论力学CAI15.1 虚位移和虚速度1. 位形空间和约束曲面质点系内各质点的 3n个坐标的集合，定义为质点系的位形建立抽象的3n维正交欧氏空间（x1,x2, …x3n), 称为质 点系的位形空间质点系所受到的约束，可用联系位形与时间的约束 方程表示，则称为几何约束或完整约束约束－物体运动所受到的限制Date4理论力学CAI定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束－约束方程中不显含时间的约束：非定常约束－约束方程中显含时间的约束：Date5理论力学CAI定常约束 —— 约束条件不随时间改变的约束。

X2 + y2 = l2Date6理论力学CAI非定常约束如果已知转子的转动规律(例如以等角速度 旋转 )，这种转动规律就是对系统的约束，约束方程为：这种约束即为非定常约束Date7理论力学CAI双侧约束与单侧约束双侧约束 —— 约束方程可以写成等式的约束单侧约束 —— 约束方程写成不等式的约束Date8理论力学CAI双侧约束与单侧约束B By yx xO OB By yx xO O只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束Date9理论力学CAIyxOAA0lyxOAA0lDate10理论力学CAI完整约束与非完整约束完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束Date11理论力学CAI圆轮在平面上纯滚动圆轮所受约束为完整约束COyx C*Date12理论力学CAIDate13理论力学CAI追踪系统OyxvAABxAyAxByB约束方程不可积分，所以 导弹所受的约束为非完整约 束Date14理论力学CAI对于完整约束系统，唯一地确定系统在空间位形 的独立坐标的数目，也就是广义坐标的数目，称为系 统的自由度数。

对于非完整约束系统，广义坐标的数目大于自由度 数这时，系统的自由度等于独立的虚位移数目在虚位移这章中我们只讨论质点或质点系受定常、 双侧、完整约束的情况Date15理论力学CAI2. 可能位移、实位移和虚位移满足约束方程的无限小位移称为质点系的可能位移质点系实际发生的微小位移称为实位移在约束允许条件下，各质点可能发生的与时间变化 无关位移，称为质点系的虚位移Date16理论力学CAI虚位移可以是线位移，也可以是角位移通常用 变分符号 表示虚位移Date17理论力学CAI实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而 实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有 限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同 的方向实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何 的概念，完全与时间无关 Date18理论力学CAI在定常约束下，虚位移就是可能 位移，就是实位移而在非定常约束 下，虚位移不一定等同与可能位移Date19理论力学CAI凡约束力对于质点系的任意虚位移所作的元功 之和为零的约束，称为理想约束质点系受有理想约束的条件：§15.2 虚位移原理1. 理想约束Date20理论力学CAI理想约束：1、光滑面约束2、铰链约束3、圆轮在平面上作纯滚动Date21理论力学CAI2. 虚功原理受定常理想约束的质点系，其平衡的必要与充分条件 为：系统内所有主动力对质点系的任意虚位移所作的元功 之和等于零。

Date22理论力学CAI4. 虚功率原理受定常理想约束的质点系，其平衡的必要 与充分条件为：系统内所有主动力对质点系的 任意虚速度所作的元功率之和等于零Date23理论力学CAI虚位移原理的应用1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置；3、求平衡系统的约束反力；4、求平衡结构系统内二力杆的内力Date24理论力学CAI建立系统主动力之间的关系Date25理论力学CAI例 图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不 计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主 动力之间的关系解：研究整个机构 系统的所有约束都是 完整、定常、理想的 Date26理论力学CAI1. 分析法Date27理论力学CAI2. 虚功率原理：Date28理论力学CAI以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至 少有一个自由度若系统存在非理想约束，如弹簧力、 摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束 系统，可选为研究对象应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：1、正确选取研究对象：若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约 束反力，并计入主动力。

应逐步解除约束，每一次研究 对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增 加一个自由度Date29理论力学CAI2、正确进行受力分析：画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力 、摩擦力和待求的约束反力3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系4、应用虚位移原理建立方程5、解虚功方程求出未知数Date30理论力学CAI例 图示机构在W及弹簧约束下处于平衡，杆长L， 弹簧系数为 k，原长为b不计杆重，求平衡条件Date31理论力学CAI求支座B的约束力 Date32理论力学CAIDate33理论力学CAIDate34理论力学CAIDate35理论力学CAIDate36理论力学CAIDate37理论力学CAIDate38理论力学CAI求平衡结构的约束力Date39理论力学CAI例 多跨静定梁，求支座A处反力Date40理论力学CAI解：将支座A除去，代入相应的约束反力F A Date41理论力学CAIDate42理论力学CAIFExFBD平面平衡结构，已知力F，平面 力偶m，AB＝L，BC＝2L，CD＝ED， BD为水平，不计自重及摩擦 求：（1）BD杆内力； （2）铰链E处的水平约束力。

Date43理论力学CAI解：1、切断BD杆，代之以内力分析力作用点的虚速度 之间的关系Date44理论力学CAIDate45理论力学CAI2、解除铰链E处水平约束，代之水平约束力分析力作用点的虚速度 之间的关系Date46理论力学CAI图示平面平衡系统，已知AB＝ 1.5L，BD＝DE＝L，AB、DE处于 水平位置F作用在DE中点，q为均 匀载荷，滑块E与接触面的摩擦系数 为0.7，不计所有刚体的重量 求： 固定端A处的约束力Date47理论力学CAI1. 解除水平约束，代之水平约束力分析力作用点的虚速度 之间的关系设E点不动，确定B、D点 的虚速度Date48理论力学CAIDate49理论力学CAI2. 解除垂直约束，代之垂直约束力分析力作用点的虚速度 之间的关系设E点不动，确定B、D点 的虚速度Date50理论力学CAIDate51理论力学CAI3. 解除转动约束，代之转动约束力偶分析力作用点的虚速度 之间的关系设E点不动，确定B、D点 的虚速度Date52理论力学CAIDate53理论力学CAI7. 用广义力表示的质点系平衡条件广义坐标第i个质 点的矢径选择 f 个广义坐标 q1 q2 · · · ·qf 以确定系统内 各个质点的位置。

第i个质点的虚位移Date54理论力学CAI主动力的虚功用广义坐标表示为Qj 称为与第j个广义坐标qj对应的广义力Date55理论力学CAI虚位移原理的另一种表达形式虚功形式虚功率形式Date56理论力学CAI用广义力表示的质点系平衡条件为受定常理想约束的质点系，其平衡充分必要条件为： 所有与广义坐标对应的广义力均等于零具体计算广义力有三种方法Date57理论力学CAI（1）公式法Date58理论力学CAI当时， 则广义力为：（2） 虚功法Date59理论力学CAI当时， 则广义力为：虚功率法Date60理论力学CAI自由度 15-13=2Date61理论力学CAIDate62理论力学CAIDate63理论力学CAI15.315.3 势力场中质点系的平衡条件及稳定性如果作用在质点系上的所有主动力都是有势力， 其势能函数可以表示为广义坐标的函数 将广义力的表达式写成分量的形式1. 势力场中质点系的平衡条件Date64理论力学CAIDate65理论力学CAI势力场中的广义力势力场中，对应于第 j个广义坐标 qj的广义力 等于系统势能对这一广义坐标的偏导数的负数Date66理论力学CAI势力场中质点系平衡的充要条件为：质点系在平衡位置处势能取驻定值。

Date67理论力学CAI例 图示机构在W及弹簧约束下处于平衡，杆长L， 弹簧系数为 k，原长为b不计杆重，求平衡条件Date68理论力学CAI解：系统为有势系统Date69理论力学CAI平衡的稳定性若质点系在某个平衡位置处受到微小扰动（微 小的偏离或微小的冲击）后，每个质点只在它的平 衡位置附近运动而不产生显著的偏离，则称该平衡 位置是稳定的反之，称为不稳定拉格朗日定理若质点系在某个平衡位置上的势能具有极小值，则该平衡位置是稳定的Date70理论力学CAIDate71理论力学CAI单自由度质点系V有极小值若V的不等于零的最低阶导数是偶数阶且为正， 则势能V有极小值Date72理论力学CAI。