无时间变量处理时域电场积分方程(翻译).docx

无时间变量处理时域电场积分方程摘要：一种采用了 Laguerre 多项式的阶数步进法的修正测试程序被研究出来，这个程序采用了 Laguerre 多项式的阶数步进法，用来解决导电结构的时域电场积分方程在确切的时间测试之前先执行空间测试，这样包含了时间和空间变量的延迟项目便可以在分析上被隔离开这个测试程序的独特性在于可以在分析上对时间变量进行整合并且其精确性也可以提高本文改进了先前的阶数步进法并且这种方法与传统的阶数步进算法有非常大的区别，因为现在的方法可以产生一组最终的方程组，这些方程组只需要空间变量就可以进行数值处理因此，在这个程序中并不需要 Courant 稳定性环境怎样对待这种奇异的积分依然处于套路之中我们同时对辐射和散射进行了几次模拟，并且将其结果与频域数据的离散傅里叶逆变换（IDFT）进行比较，发现它们很吻合索引词：Laguerre 多项式，一种矩量法，用于时域电场积分方程（TD-EFIF） Ⅰ、介绍时域电场积分方程方法已经被证明是一种分析各种电磁问题的有效快捷的工具当前处理 TD-EFIE 最普遍的方法是时间步进法[1]-[7]然而正如很多研究者指出的那样，时间步进方法可能受到自身时间滞后的不稳定性的影响。

为了消除这种不稳定性也已经付出了很多努力[3]-[7]最近，一种叫做阶数步进法[8]-[10]的新方法被提议用来解决 TD-EFIE按照 Laguerre 函数来表示瞬时状态可以处理这种积分方程通过用这些正交基函数处理时间偏差，就能够分析处理时间导数并且完全将瞬时变量从最终的方程组中消除因此，Courant 稳定性环境在这里已经完全没有必要，即使是时间延迟也可以得到稳定的结果在[8]-[10]讲到，空间测试先于时间测试，距离的延迟可以用中心渐进法来处理在本文中，我们用了改进后的测试程序时间测试先于空间测试，因此距离的延迟可以被包含到空间积分同时可以不采用渐进法进行处理为了验证这种方法的有效性和准确性，我们将它应用到简单带状对称振子，球体，立方体以及薄板中我们将得到的结果与使用频域电场积分方程和阶数渐进法的离散傅里叶逆变换进行比较Ⅱ、方程考虑到一个导电体可以用瞬时电磁波来描述，所以在导电体的表面，电场在S 面的切向分量总为零，因此我们有A 和 分别是磁矢量和电势， 是入射场下标“tan” 表示切向分量，矢𝜑 𝐸𝑖量 A 和标量 通过包含表面电流密度 J 和电荷密度 的时滞积分分别得到：𝜑 𝜌代表观测点 和源点 之间的距离， 是时间延滞， 分𝑅=|𝑟‒𝑟,|2 𝑟 𝑟, 𝑟=𝑡‒𝑅/𝑐 𝜇和 𝜀别是自由空间磁导率和介电常数， 是自由空间电磁波的传播速度。

𝑐考虑到赫兹矢量 ，电流密度和电荷密度可以用以下公式表示：𝑐(𝑟,𝑡)所以， （1）式可以被写为：方程（6）求解电场积分方程所需要的Ⅲ、解决方法A、基函数待分析的导电结构可用分段三角形进行近似我们考虑带到可以给三角形对分配一个公共边界，导体可以被分为 N 个三角形对因此，第 n 个公共边界𝑇±𝑛的空间基函数定义[1]：分是边界的长度和三角形 的面积，𝑙𝑛和 𝐴±𝑛 𝑇±𝑛相 对 于自由向量 𝑇±𝑛的位置向量定 义 𝜌±𝑛我们可以依据分离空间向量三角基函数和整个定义域内的时间变量将 Hertz表示为：公式（9）中的瞬时系数可以被在展开为：是未知系数， 是因果时间基函数， 是 j 阶𝑐𝑛,𝑗 ∅𝑗(𝑠𝑡)=𝑒‒𝑠𝑡2𝐿𝑗(𝑠𝑡) 𝐿𝑗(𝑠𝑡)Laguerre 多项式，s 是比例因子通过控制比例因子 s，时间展开函数给出的时间支持可以增大或减小瞬时系数的的一阶和二阶导数可以表示为：假定 0，因为瞬时波形是因果的，所以假定是有效的𝑐𝑛(0)=0和 𝑐,𝑛（ 0） =将（9）-（12）式代入（6）式，可以得到（13）式：B、测试程序在[8]-[10]中，首先进行空间测试。

为了处理（13）中的延迟项目，我们假定在三角形内的未知瞬时量没有明显的变化那么下面的近似法是可以采用的：位置向量， 分别是场和源的公共边界的𝑟𝑐±𝑚是三角形 𝑇±𝑛中心的 𝑝， 𝑞=±𝑚， 𝑛数值为了避免以上的近似法，我们在空间测试后进行时间测试将时间测试应用于Galerkin 法并且在（13）式中对空间测试使用函数，可以得到：∅𝑖(𝑠𝑡)(𝑖=0， 1,2， ……， 𝑀）M 是 Laguerre 函数的最高次幂M 的值取决于波形的时间带宽，根据采样原理，可以近似为：现在，我们可以将（14）式和的上限从 改为 ∞ 𝑖可以看到， （14）式中没有时间变量然后对剩下的形式用进行空间测试，得到：𝐹𝑚(𝑟)(𝑚=1， 2， ……， 𝑁）当C、奇异点在积分中的处理在（18）-（21）式中，当 会有一个奇异点它们与电势的积分非常𝑅→∞相似，但是从分析来看，在数学上又有一些不同对于（18）式，我们有：和 分别是公共边界的长度和三角形 的面积𝑝， 𝑞=±𝑙𝑚， 𝑙𝑛 𝐴𝑞𝑚， 𝐴𝑞𝑛 𝑇𝑞𝑚， 𝑇𝑞𝑛当 时， （23）式的第一个积分项没有奇异点，因此可以采用高斯积分𝑅→0法则对其进行数值计算。

第二个积分项通过自身解析[11]和其它半解析[12]便可以计算出来，(19)式同理可得在（20）和（21）式中，我们有：当 时，因为 , 是 Laguerre 多𝑅→0 𝐿𝑛(0)=1， 𝐿𝑛(𝑥)=𝐿,𝑛（ 𝑥） ‒𝐿 ,𝑛+1(𝑥)𝐿,𝑛项式的导数（24）式可以化为：它是一个常量，因此没有奇异点Ⅳ、数值算例我们使用高斯分布或它的导数形式的瞬时脉冲，这种脉冲可以作为激励且没有直流分量高斯脉冲在数学上可以用下式表示：T 是脉冲的宽度， 是脉冲到达顶点的时延，这些量都可以用测光表求得𝑐𝑡0C 是光速，k 是入射波的波矢量，t 是时间变量入射波的幅度是定值，高斯脉冲的导数可以写为：包括带状对称振子的辐射和球体，立方体以及平板的散射等实例用上述的波形作为激励进行了模拟A、带状对称振子的辐射我们将激励放在长 1m，宽 0.04m 的带状对称振子的中心得到 Fig.1，其目的是为了计算辐射区域当激励是 的斯脉冲的导T=4（ lm） ,𝑐𝑡0=6(𝑙𝑚)数时，Fig.2 显示了远区场的 分量从 的变化我们用不同阶数的𝜃 0°到 90°Laguerre 多项式去近似瞬时响应。

这些图形说明，对比频域离散傅里叶逆变换和使用三角空间离散化，它们得到的结果完全相同的B、球体的散射我们对空间离散化的导体球的散射进行了模拟Fig.3 显示了这个导体球，且其半径为 0.5m入射场是不同宽度的高斯脉冲Fig.4 显示了当入射场宽度分别为 2（lm）和4（lm）时的 14 号边界的表面电流 这个结果与相同空间离散化的 IDFT 结𝐽𝑥果很温和C、立方体的散射当激励是 的高斯脉冲时，我们对尺寸为T=4（ lm） ,𝑐𝑡0=6(𝑙𝑚)，不同类型空间离散化的立方体进行了仿真Fig.5 显示0.5m×0.5𝑚×0.5𝑚了立方体和入射场的方向Fig.6 显示了公共边界的总数分别为 450,1152 和1800 时，立方体的反向远区散射场结果说明了这种方法即使使用粗糙的分割也可以得到好的结果因此，即使没有时间变量，也不必将空间离散化和时间离散化联系起来的 Courant-Friedrich-Levy 条件D、平板的散射为了比较这个与先前测试程序的结果，Fig.7 显示了尺寸为 的0.3𝑚×0.3𝑚正方形平凡的散射性Fig.8 显示了前面两种不同测试程序和 IDFT 方法得到的穿过边界 7 的电流。

与 IDFT 结果相比较，新的方法可以得到比先前方式更加准确的结果Fig.1 带状对称振子Fig.2 对称振子的不同阶数 Laguerre 多项式的远区场Fig.3 导电球体Fig.4 当(a)T=2(lm)和(b)T=4(lm)时穿过边界 14 的电流Fig.5 导电立方体Fig.6 不同空间离散化立方体的反向远区场Fig7.简易平板Fig.8 新方法和之前方法得到穿过边界 7 的电流的对比Ⅴ、结论现在我们已经得到了一种运用 Laguerre 多项式的改进后的测试程序，这个程序用来处理导电结构的时域电场积分方程采用我们的方法和频域离散傅里叶逆变换得到结果非常匹配的。