(新高考)高考数学一轮复习课时练习10.3《二项式定理》(含解析).doc

第3讲　二项式定理最新考纲考向预测1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.命题趋势二项式定理的正用和逆用、二项式系数的性质与各项的和，尤其是二项展开式的通项公式的应用是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．核心素养数学运算、数学抽象1．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．(2)通项：第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk．(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．2．二项式系数的性质常用结论1．两个常用公式(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.2．(a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.常见误区1．二项式定理中，通项Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．2．二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n的展开式中的第r项是Can－rbr.(　　)(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．(　　)(4)通项Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互换．(　　)(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×2．(易错题)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为(　　)A．80 B．40 C．20 D．10解析：选B.Tr＋1＝C(2x)r＝C2rxr，当r＝2时，x2的系数为C·22＝40.3．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)A．10 B．20 C．30 D．120解析：选B.二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tr＋1＝C·x6－r·＝Cx6－2r，当6－2r＝0，即当r＝3时为常数项，T4＝C＝20.4．在(x－)6的展开式中，第3项为________．解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·x6－，所以T3＝C(－1)2x5＝15x5.答案：15x55．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.答案：8二项展开式的特定项(系数)角度一　形如(a＋b)n(n∈N*)型 (1)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　)A．60 B．80 C．84 D．120(2)(2020·云南大理联考)已知二项式(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为(　　)A．14 B．－14 C．240 D．－240【解析】　(1)在(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，x2的系数是C＋C＋…＋C＝120.故选D.(2)展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)n－r·，因为展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，所以C∶C＝2∶5，解得n＝6.所以Tr＋1＝C26－r(－1)rx6－r，r＝0，1，2，…，6.令6－r＝3，得r＝2，所以x3的系数为C26－2(－1)2＝240，故选C.【答案】　(1)D　(2)C求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤　 角度二　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)型 (1)(2020·高考全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)A．5 B．10 C．15 D．20(2)(2020·成都市诊断性检测)(x2＋2)的展开式中的常数项为(　　)A．25 B．－25 C．5 D．－5【解析】　(1)因为(x＋y)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝Cx5－ryr，所以(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15.故选C.(2)因为的展开式中的常数项与2的乘积为2Cx3＝－2C＝－40，的展开式中含x－2的项与x2的乘积为Cx2×x2＝C＝15.所以(x2＋2)的展开式中的常数项为－40＋15＝－25.【答案】　(1)C　(2)B求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的思路(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑．　 角度三　形如(a＋b＋c)n(n∈N*)型 (1)(2020·四川成都月考)的展开式中的常数项为(　　)A．11 B．－11 C．8 D．－7(2)(2020·广州市阶段训练)(3x2－2x－1)5的展开式中，x2的系数是________．(用数字填写答案)【解析】　(1)将x＋看成一个整体，展开得到通项公式为Tr＋1＝C(－1)r，的展开式为Tm＋1＝Cx4－r－mx－2m＝Cx4－r－3m，取4－r－3m＝0，当m＝0时，r＝4，常数项为C×C×(－1)4＝1；当m＝1时，r＝1，常数项为C×C×(－1)1＝－12.所以所求常数项为1－12＝－11.故选B.(2)方法一：因为(3x2－2x－1)5＝[(3x2－2x)－1]5展开式的通项公式为Tr＋1＝C(3x2－2x)5－r·(－1)r，当r＝0或r＝1或r＝2时，二项式(3x2－2x)5－r的展开式中无x2项；当r＝3时，二项式(3x2－2x)5－r的展开式中x2的系数为4；当r＝4时，二项式(3x2－2x)5－r的展开式中x2的系数为3；当r＝5时，二项式(3x2－2x)5－r的展开式中无x2项．所以所求展开式中x2的系数为4×C×(－1)3＋3×C×(－1)4＝－25.方法二：(3x2－2x－1)5＝(3x＋1)5(x－1)5，(3x＋1)5的展开式中常数项为1，x的系数为3C＝15，x2的系数为9C＝90，(x－1)5的展开式中常数项为－1，x的系数为C×(－1)4＝5，x2的系数为C×(－1)3＝－10，所以(3x2－2x－1)5的展开式中，x2的系数为1×(－10)＋15×5＋90×(－1)＝－25.【答案】　(1)B　(2)－25求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤　 1．(2020·高考全国卷Ⅲ)的展开式中常数项是________(用数字作答)．解析：展开式的通项Tr＋1＝C(x2)6－r＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项为C24＝240.答案：2402．(2020·贵阳市第一学期监测考试)的展开式中x2的系数为________．解析：因为二项式(1－2x)7的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(－2x)r＝(－2)rC·xr，所以的展开式中x2的系数为(－2)3C＝－280.答案：－2803．(2020·四省八校第二次质量检测)(x>0)的展开式中含x3项的系数为________．解析：方法一：因为＝，所以其展开式的通项公式为Tr＋1＝C()12－r＝C(－1)r()12－2r＝C(－1)rx6－r，由6－r＝3得r＝3，所以含x3项的系数为C(－1)3＝－220.方法二：＝＝，要求其展开式中含x3项的系数即求(x－1)12的展开式中含x9项的系数，为C(－1)3＝－220.答案：－220二项展开式中的系数和问题 (1)(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　)A．a0＝－32 B．a2＝－80C．a3＋4a4＝0 D．a0＋a1＋…＋a5＝1(2)(多选)关于多项式的展开式，下列结论正确的是(　　)A．各项系数之和为1B．各项系数的绝对值之和为212C．存在常数项D．x3的系数为40【解析】　(1)令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确．令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确．令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tr＋1＝Cy5－r·(－2)r，故a2＝C·(－2)3＝－80，B正确．a4＝C(－2)1＝－10，a3＝C(－2)2＝40.故C正确．故选ABC.(2)由题意可得，各项系数之和为26，各项系数的绝对值之和为212.＝，易知该多项式的展开式中一定存在常数项．由题中的多项式可知，若出现x3，可能的组合只有·(－x)3和·(－x)4，结合排列组合的性质可得x3的系数为C×13×C×20×(－1)3＋C×11×C×21×(－1)4＝40.【答案】　(1)ABC　(2)BCD赋值法求系数和的应用技巧(1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.令x＝0，可得a0＝f(0)．　 1．(2020·贵阳市适应性考试)在的二项展开式中，各项系数之和为A，二项式系数之和为B，若A＋B＝72，则二项展开式中常数项的值为(　　)A．6 B．9 C．12 D．18解析：选B.在中，令x＝1，得A＝4n，由题意知B＝2n，所以4n＋2n＝72，得n＝3，的二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C()3－r＝3rCx，令＝0，得r＝1，所以常数项为T2＝3C＝9.2．若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　)A．29 B．29－1C．39 D．39－1解析：选D.(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，所以a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.故选D.二项展开式中的系数最值问题 二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　)A．3 B．5 C．6 D．7【解析】　根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，所以的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x)。