量子力学讲义第4章.docx
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第四章量子力学的表述形式(本章对初学者来讲是难点)表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比:矢量(欧几里德空间)基矢(e, q, e)~三维任意矢展开A = Z A£i{(ex,匕,匕)e , %，匕)不同坐标之间可以进行变换量子力学的态(希尔伯特空间)本征函数(w],W2，…,W，…)〜无限维任意态展开W = Z a wn{(w 1(x),w 2(x)，- w.nLx),...)(C1( p), c 2( p),. C.n 3),...)不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量A，将量子力学“几何化”一在矢量空间中建立它的一般形式为此，我们将① 引进量子力学的矢量空间〜希尔伯特空间；② 给出态和力学量算符在该空间的表示；③ 建立各种不同表示之间的变换关系最后介绍一个典型应用(谐振子的粒子数表象)和量子力学的三种绘景4.1希尔伯特空间狄拉克符号狄拉克符号" |尸-类比:厂(A^,A,,气)欧氏空间的矢量A一坐标系中的分量(A ,A ,A ) r 中尸 W (r)希氏空间的态矢I )f表象下的表示 R C(p)引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。
一、 希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般 是无限维的1、 线性：① a+b=|c :② b="a；2、 完备性：a=£ a nn3、 内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间| : ( |: (|a；) + = a|; :a| = £a*：；n|n定义内积：；a|b = ：b|a)*=复数，::a|a)‘ > 0a|a)： = 1 ~归一化；；a|b = 0 - a ,|b 正交；!m\^ =6 ~正交归一；(x|x，)=8 (x - x') ~连续谱的正交归一二、 量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示(此属“符号问题”，仅作简要介绍，主要由学生自己通过练习来熟悉符号)态矢符合线性空间的要求：|v) = V〉+|v2)，V)=人阴任意态矢可用一组完备的基矢展开：w)=£a\f),，fWnma = ? ..f v ；=£ a ：.f f ；=£a 6 =a —a =\f iw ； n m n m n ' n mn m n nnn态可以求内积：V). = Jv(x)|x dx, p:： = jq(x)\x：dx ~ 以｛|x.:｝为基，1、2、3、其中 V(x) = ■ x区,中(x) = *仅.'。
取V ;的左矢：：V| = jV*(x工x|dx，有内积.:V |0： = Jv*(x)；x|dxjq(x')|x')：dx' = Jv*(x)q(x')：x|x';dx'dx = Jv*(x)q(x)dx上式已利用了连续谱的正交归一性(x|x') = 6(x-x')三、希尔伯特空间的算符算符F : 阚=F\V；：1、算符对左矢的作用：:-b\F 存在，其意义(定义)为(bF)|a = :'b\F\a•: = b|(F|a：)2、 厄米共轭算符：A ":—"—（A W：） +=叩 B，称 B = A +, B += A ,即（A "：） +=W |A +有（AB） + = B+A + （自证）若A + = A则厄米算符3、 矢量的外积：内积ab -是一个复数，而外积|a-b ~是一个线性算符（并矢）作用于c - ；b|c‘a~ （右）态矢；作用于：c T；b|.c|a〜（左）态矢4、 取乘积的厄米共轭规则（反序）：| a '： + -» \ a |, a + -» a *, （AB）+ —B+A+例：F为厄米算符，试计算iaF\b-：* = ?解：注意到，对于复数，"*” = "+”，故•；a|F| b： * =.：a|F| b）： + = b'： + F +《.a |+ = ：'.b|F + a），... F + = F, .；a|F|b；,* =：.'b|F|a'；.~这也可作为用狄拉克符号写出的厄米算符的定义。
5、投影算符：=1 f)(f\P作用于任意态矢|w : T | f /的分量：P I"： = | f if I" = a |f in ■ n' n'n''n n n6、 基矢的完备性（这是非常有用的性质）:"=£a.fj, a,=（匕"T " = £（匕"f） = £|fn）（fn "n n n由单位算符I的定义："=I"•矢口£ 15二7t£ p广-—n n对连续谱，有 |j |f）（f|# = I7、 本征值方程：Ff）= ff （分立谱）或|F| f = f|f）| （连续谱）8、 算符的自然展开式：可见，力学量算符由它的本征值谱｛f｝和本征矢完全集｛| f?完全确定作业：习题4.1、1［原题有误，应为证（13）式和（16）式］，2, 4, 54.2态和力学量的表象表示(本节可主要由学生自学，只列出要点)在具体计算时，要取“坐标系” 表象取力学量2 (也可以代表一个力学量完全集)：以Q的正交归一本征态完备系为基矢｛|q ｝｝，则称为Q-表象一、 态的表象表示Q-表象：基｛q ::｝，本征值谱｛q ｝，有0 |q ；=8 , £ m n mnn我们以分立谱为例讨论(请自学连续谱)任意态： V (t)；■: =£ "V (t)) = £ an (t)| q '),nnan (t) = q V (t)), V (t»在Q -表象中的表示。
{an}表示态与|v (t))表示态完全等价)矩阵形式:*, a*, ♦♦♦ a *, 1 2 nank ♦♦♦ J特别地，V (t)；、= \qj体系处于Q的本征态：a=5mn请同学们认真研究教材P136-139的各表，归纳态的表示的规律二、算符的表象表示Q —表象：由 |平；=F|", £|q ；-,q | = I — :.q 0： = £：q ” q :q |" n n m m n n 'nn即"mA Fm"na =(q |v)为V)在Q-表象的表示(“投影”)，b =(q时.为时’在Q-表象的表示(“投影”)，Fm=(qm|F| qj为F在Q -表象的表示(“投影”)FF♦♦♦F、♦♦♦11121nFF♦♦♦F♦♦♦21222n♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦,FF♦♦♦F♦♦♦n1n2nn< ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦J矩阵形式：F =(b )r fF♦♦♦11112bFF♦♦♦22122=♦♦♦♦♦♦♦♦♦bFF♦♦♦nn1n2k ♦♦♦ Jk ♦♦♦♦♦♦♦♦♦F1nF2 n♦ ♦♦Fnn或简写成中=FV注意，教材P141排版有误，见我在教材中的注4.3量子力学公式的表象表示（我们以分立谱为例，主要讲要点和思路，具体细节可由学生自学。
一、归一化条件：冲(t) |v (t).‘ = 1Q -表象： wiw)=£冲\g w)=£ a* a =W+W = 1n n二、平均值：F =冲(t) |F|v (t).：Q -表象:F = ；w (t) \F|w (t)：.= Zwlq ,q F q :q |" = Z a * F a =W + Fy■ ■ ' m … m n " " n ' m mn nm,n m,n三、本征值方程 矩阵形式下本征值方程的求解（重点讲解）Q -表象:£ ■-qm |^"| 土，气 k) m fiqa( k) q } n£ F a( k) = f a( k)，F1nF2n♦♦♦F - fknn k♦♦吁•人…Jn n n即有^ ( Fmn - fk 8 ml气n写成矩阵形式：(F - f F 11 k 12F21 F22- f♦♦♦ ♦♦♦F Fn1 n 2I ♦♦♦ ♦♦♦这是关于｛a俄）｝的齐次线性方程组，具有非零解的条件是: ndet|七-[5」=0久期方程F - fF11 k12FF - f2122 k• •••••FFn 1n2..F1 nF2 nFnn求解方法：① 由久期方程一 fk;②代入方程组一｛a（k）｝；③由此得本征矢f]例：（见教材P149）在（L2,L ）的共同表象中，L的矩阵表示为L =_L(010、101<010 J，求它的本征值和归一化本征矢。
解：矩阵方程为a2I a )3a2a )3'a1'a2I a )' 37(1)-归101—归101-人、[%、a2a J3其久期方程为一人'101一人'11"*=0 — — X?3 + 2* = 0 < X/ = 0 疽=—很I 3|X1=方n{ X = 0X 2=-方3①将X1 =方代入（1）式可得由归一化条件V+V（取实数）=0代入.•.V（1）式可得<2-w''2 J=-力代入（1）式可得四、S-方程ih—|v (t )； = H |v (t )；Lz t-Q -表象:a ..厂ih — a (t) = Z H a (t)It m mn nnih 1 atf H11H21k ...H12H22...、f %、...a2...八...jih —V = HVat作业：习题 4.2、1，8；习题 4.3、1，2，34.4表象变换问题：A-表象一B表象一、表象变换是么正变换A-表象：{|a ')}, A\a } = a \a ')B-表象:{b )}, B\b ) = b \b )①考虑 A—B： b ：： = ^7|a U =由(a |a )=8—U=旨 b «f•/ U。
