考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤.doc

第一讲 极限与持续重要内容概括（略）重点题型解说一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题1．求下列极限：（1）；（2）；（3）；2．求下列极限：（1）；3．求下列极限：（1）；（2）；（3）类型二：运用重要极限求极限的问题1．求下列极限：（1）； （2）；2．求下列极限：（1）；（3）； （4）；类型三：运用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题1．求下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）设，求2．求下列极限：类型四：极限存在性问题：1．设，证明数列收敛，并求2．设在上单调减少、非负、持续，，证明：存在类型五：夹逼定理求极限问题：1．求；2．；3．类型六：含参数的极限问题：1．设，求；2．设，求；类型七：中值定理法求极限：1、；2、类型八：变积分限函数求极限：1、2、设持续，且，则二、持续与间断的判断1．设，讨论函数在处的持续性2．讨论在处的持续性三、持续性命题的证明1．设且存在，证明在上有界2．设在上持续，任取，证明：存在，使得第二讲 微分学第一部分 一元函数微分学内容复习（略）重点题型解说（一）与导数定义有关的问题1．设存在，求。

2．设在处持续，且，求3．设在上有定义，对任意的有，且，求4．设二阶持续可导，且，，则5．设在上有定义，且对任意的有，又当时，有，讨论在处的可导性二）各类求导数的问题1．设，求；2．设，求；3．，求；4．设由拟定，求；5．设，求；6．设，求；7．设由拟定，求；8．设在处可导，求；9．求下列函数的导数：（1）设，求；（2）设，求；10．设持续，，且，求，并讨论在处的持续性11．设，其中二阶可导且1）当为什么值时，在处持续；（2）求；（3）研究在处的持续性解答：（1），于是当时，在处持续2）当时，，即；当时，，于是3）由于，因此在处持续12．设在上可导，在处二阶可导，且，求13．设，求，并讨论的持续性和可导性三）高阶导数问题1．设，求；2．设，求3．设，求第二部分 一元函数微分学的应用内容复习（略）附：中值定理部分的推广1．设在的邻域内阶持续可导，则有2．（导数零点定理）设，在内可导，且，则存在，使得3．（导数介值定理）设设，在内可导，且，不妨设，则对任意的，存在，使得4．设，且，则有，等号成立当且仅当重点题型解说（一）中值定理等式的证明类型一：目的体现式中仅含不含端点字母，且导数之间相差一阶1．设在上持续，在内可导，且，证明：存在，使得 。

2．设在上可微，且，证明：存在，使得 3．设在上持续，在内可导，证明：（1）存在，使得；（2）对任意的，存在，使得 类型二：目的体现式中含两个中值1．设在上持续，在内可导，且，证明：存在，使得2．设在上持续，在内可导，，证明：存在，使得 3．设，在内可导，且，证明：对任意的正数，存在，使得4．设，在内可导（），证明：存在，使类型三：目的体现式中具有端点和中值1．设，在内可导，且，证明：存在，使得 类型四：目的体现式为1．设函数在区间上持续，在内可导，且，，证明：存在，使得3．设在上三阶可导，且，证明：存在，使得4．设，且，证明：存在，使得类型五：目的体现式为（其中为常数）1．设，在内二阶持续可导，证明：存在，使得 2．设在上三阶持续可导，且，证明：存在，使得3．设为个不同的实数，函数在上有阶导数，并满足，则对每个，存在满足等式二）中值定理不等式的证明1．，在内可导，，且不是常数，证明：存在，使得 2．设，在内可导，且曲线非直线，证明：存在，使得 3．，在内二阶可导，且，证明：存在，使得。

4．设在上满足，且在内取到最小值，证明： 5．二阶可导，且，证明：6．设在上二阶可导，，对任意的（）及（），证明：7．设且，证明：8．设在上有定义且，证明：对任意的，有9．设在上二阶可导，且，证明：存在，使得 10．设在的邻域内四阶可导，且，证明：对此邻域内任一不同于的，有 ，其中是有关的对称点11．设在上二阶可导，且，证明：对任意的，有12．一质点从时间开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不不不小于4三）求中值定理中的极限问题1．设二阶持续可导，且，又（）2．设，证明：四）与极值、最值有关的命题1．设在二阶可导，满足，且，证明：2．求数列中的最大者五）不等式的证明问题1．设，证明：当时，2．证明：3．证明：当时，有4．设，证明：5．当时，证明六）方程根的个数讨论1．讨论方程的根的个数2．设内有，且，证明：在内有且仅有一种根3．证明方程在内有且仅有两个根七）选择题1．设在处二阶可导，且，则 （ ）（A）是的极大值. （B）是的极小值. （C）是曲线的拐点. （D）不是的极值点，也不是曲线的拐点.2．设二阶持续可导，，则 （ ）是的极小值；是的极大值；是曲线的拐点；不是函数的极值点，也不是曲线的拐点。

3．设二阶持续可导，且，则（ ）是的极小值； 是的极大值；是曲线的拐点； 是的驻点但不是极值点4．设，则函数的零点个数为 （ ）0个； 1个； 2个； 3个5．曲线的渐近线的条数为 （ ）0条； 1条； 2条； 3条第三部分 多元函数微分学内容复习（一）基本概念1．多元函数的极限：设的定义域为，为平面上一点，若对于任意的，总存在，当时，有 ，则称当时觉得极限，记为2．多元函数的持续：设在点的邻域内有定义，若，则称函数在点处持续3．偏导数：设在点的邻域内有定义，若存在，称函数在点处对可偏导，极限记为；若存在，称函数在点处对可偏导，极限记为4．可微与全微分：设在点的邻域内有定义，记 ，若，其中为常数，，则称在点处可微，称为在点处的全微分，记为 注解：（1）若在点处可微，则；（2）若为可微函数时，；5．方向导数：设在点的邻域内有定义，从点印一条射线，设，令若存在，称此极限为函数在点处沿射线的方向导数，记为。

注解：（1）设在点处可微，则（其中为射线与轴正方向的夹角）2）设在点处可微，则，（其中为射线与轴、轴、轴正方向的夹角）6．梯度：设为二元可微函数，称为函数的梯度，记为注解：梯度的方向即为函数在一点处方向导数最大的方向，梯度的模即为方向导数的最大值，由于（其中为与的夹角），因此当时，，此时方向导数最大，且最大值为二）偏导数求法1．显函数求偏导数；2．复合函数求偏导数：（1），其中，求；（2），其中，求；（3），其中，求；3．隐函数（组）求偏导数：（1）设，求；（2）设，求；（3）设，求，；（4），求及三）多元函数微分学在函数极值上的应用1．无条件极值求函数极值的环节：（1）拟定函数的定义域；（2）由求出函数的驻点；（3）运用鉴别定理，设为一种驻点，令，Case I 若，则点为函数的极值点，当时，为极小点；当时，为极大点Case II 若，则不是极值点Case III 若，则无法拟定点与否为极值点2．条件极值在下求函数的极值点与极值，采用乘数法，环节为：（1）令；（2）由求出也许的极值点；（3）对也许的极值点进行拟定四）多元函数微分学在几何上的应用（数学一，该内容涉及在空间解析几何部分）1．空间曲线的切线与法平面（1）设，取参数，相应的曲线上的点为，切线的方向向量为，切线方程为：，法平面为：。

2）设，点，则切线的方向向量为 2．空间曲面的切平面与法线设空间曲面，点，则切平面的法向量为，切平面方程为：，法线方程为：重点题型解说（一）多元函数的概念、极限与持续1．求下列极限：（1）； （2）2．讨论函数在点处的持续性3．讨论函数在点处的持续性、可偏导性与可微性4．讨论函数在点处的持续性、可偏导性与可微性二）偏导数的求法1．设，求；2．设二阶持续可微，，求3．设二阶可导，二阶持续可偏导，且，求4．设，且二阶持续可微，求5．设，其中可微，求6．设，且是由拟定的的函数，可微，证明： 7．设，且是由拟定的的函数，可微，求8．设，且可微，证明：9．设持续可偏导，且由拟定，求10．，若通过变换,其中，求原方程化成的方程形式解答：由得，又，代入原方程得 11．满足方程，运用把函数变成，且满足，求常数解答：，，代入上述关系式得 ，即，则，于是，从而三）偏导数在极值上的应用1．求由方程所拟定的函数的极值解答：由得，代入原方程得，因此驻点为在处，，，，函数在取极小值；在处，，，，函数在点处取极大值2．求在区域上的最大值与最小值解答：由得，根据鉴别法知为极大值。

令在上，由于，因此单调减少，故最大，在上，令，得，，分别为在上的最大值与最小值类似可得在上的最大值与最小值分别为与，在上的最大值与最小值分别为与，综上所述，与分别为在上的最大值与最小值3．求函数在区域上的最值解答：（1）在内，由得2）在上，令，由得，由于，因此函数在区域上的最大值为，最小值为4．求椭球内接长方体的最大体积解答：设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为，则令，由得，则最大体积为四）偏导数在几何上的应用1．求曲线在点处的切线与法平面2．过直线作曲面的切平面，求此切平面方程解答：，则，过直线的平面束为 ，其法向量为 设所求的切点为，则有，解得或者，故所求的切平面方程为或者3．曲面上一点的切平面为，若过的曲线在的切线为，求平面解答：切线的方程为，曲面上点处的法向量为 ，则切平面方程为，即由于，而，因此，解得切点的坐标为或者，故平面或者4．设曲面，平面1）求曲面上与平行的切平面； （2）曲。