中心极限定理的内涵和应用.doc

中心极限定理的内涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l（林德伯格-勒维中心极限定理）设是独立同分布的随机变量序列，且存在，若记则对任意实数y，有 （1）证明：为证明(1)式，只须证的分布函数列弱收敛于标准正态分布由定理可知：只须证的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数为此,设的特征函数为，则的特征函数为又因为E()=0，Var()=,所以有=0，于是，特征函数有展开式从而有而正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。

定理1的结论告诉我们：只有当n充分大时,才近似服从标准正态分布，而当n较小时，此种近似不能保证也就是说，在n充分大时，可用近似计算与有关事件的概率，而n较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的当时，则有经过多方面的理论研究，我们可知定理1主要适用于以下两个方面；应用一：求随机变量之和落在某区间的概率（例如例2.）应用二：已知随机变量之和取值的概率，求随机变量的个数n在日常生活中，我们会发现其实有很多的例子均可用林德伯格-勒维中心极限定理来解决在此我们从中选择了几个典型而又带有新意的例子，仅供大家参考例1．用中心极限定理说明在正常的射击条件下，炮弹的射程服从或近似服从正态分布[1]解：设a为理论射程，为实际射程，则=-a为实际射程对理论射程的偏差，显然=+a，故只需证～N(，)由于在实际射击中，有很多不可控制的随机因素在不断变化，所以造成了实际射程对理论射程的偏差，若设：射击时炮身振动引起的偏差，：炮弹外形差异引起的偏差，：炮弹内火药的成分引起的偏差，：射击时气流的差异引起的偏差……，：……，显然有=∵影响实际射程的因素是大量的，∴这里的n一定很大，又∵炮身的振动、炮弹的外形、火药的成分、气流的变化…….这些因素之间没有什么关系(或有微弱关系)。

∴由它们引起的，，……可看做是相互独立的而正常的射击条件也就是对射程有显著影响的因素已被控制，所以，，……所起的作用可看做是同样微小∴由中心极限定理可知～N(，)∵可正，可负且相会均等 ∴p=0 ∴～N(0，)则 从这个例子来看，虽然看上去有点复杂，但是我们还是很清晰地可以看到如果一个随机变量能表示成大量独立随机变量的和，并且其中每一个随机变量所起的作用都很微小，则这个随机变量服从或近似服从正态分布，这给我们的计算带来很大方便现在的旅游、汽车等行业越来越受欢迎，为了体现中心极限定理的重要性，我们不妨从现实生活中的热门行业说起，看看它到底起到怎样的重要性例2．某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为=2的泊松分布，若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率[1]解：设为第i天出售的汽车的数量，则为一年的总销量，由，知365×2=730利用中心极限定理得P(>700)=1-P(≤700)≈1—=1-(一1．11)=0.8665从此例可以看出，中心极限定理揭示了离散型随机变量与连续型随机变量的内在关系，即离散型随机变量的极限分布是正态分布。

事实上，在现实生活中的很多方面，我们都能清晰地看到中心极限定理的存在那么在理论中，我们也可用它来解决一些比较抽象的问题，比如下面的极限求解问题例3．利用中心极限定理证明： [1]证明：设{}独立同分布且～P(1)，k=1，2…….则a==l，==1∵由泊松分布的可加性知～P(n)∴又∵由中心极限定理知：∴ 如果在林德伯格-勒维中心极限定理中，服从二项分布，就可以得到以下的定理：定理2（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理）设n重伯努利试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p（0

在实际问题中说诸具有独立性是常见的，但是很难说诸是“同分布”的随机变量比如在我们的生活中所遇到的某些加工过程中的测量误差，由于其是由大量的“微小的”相互独立的随机因素叠加而成的，即，诸间具有独立性，但不一定同分布在此，我们还要深入地研究在独立不同分布的前提下，各随机变量和的极限分布问题，目的是给出极限分布为正态分布的条件为使极限分布是正态分布，必须对的各项有一定的要求譬如若允许从第二项开始都等于0，则极限分布显然由的分布完全确定，这时就很难得到什么有意思的结果这就告诉我们，要使中心极限定理成立，在和的各项中不应有起突出作用的项，或者说，要求各项在概率意义下“均匀地小”下面我们来分析如何用数学式子来明确表达这个要求设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：,,要讨论随机变量的和，我们先将其标准化，即将它减去均值、除以标准差，由于==，且记=,则的标准化为如果要求中各项“均匀地小”，即对任意的要求事件发生的可能性小，或直接要求其概率趋于0.为达到这个目的，我们要求因为，若设诸为连续随机变量，其密度函数为，则上式右边=因此，只要对任意的有， 就可保证中各加项“均匀地小”。

上述条件（2）称为林德伯格条件[2]林德伯格证明了满足（2）条件的和的极限分布是正态分布，这就是下面给出林德伯格中心极限定理定理3(林德伯格中心极限定理) 设独立的随机变量序列设满足（2）林德伯格条件，则对任意的x，有.假如独立随机变量序列具有同分布和方差有限的条件，则必定满足以上（2）林德伯格条件，也就是说定理l是定理3的特例这一点是很容易证明的：设是独立同分布的随机变量序列，为确定起见，设诸是连续随机变量，其共同的密度函数为这时由此得因为方差存在，即所以其尾部积分一定有故林德伯格条件满足林德伯格条件虽然比较一般，但该条件较难验证，因此在实际的应用中，我们都不怎么使用林德伯格中心极限定理在此情况下，为了使独立不同分布的中心极限定理便于运用，我们深入研究了下面的李雅普诺夫（Lyapunov）中心极限定理我们之所以讲李雅普诺夫中心极限定理便于运用，是因为李雅普诺夫条件比较验证，而且它只对矩提出要求，为我们的求解带来了极大的方便之处为此我们特地分一节内容来研究它，希望它的出现能引起我们的极大重视三、李雅普诺夫中心极限定理的特殊应用定理4（李雅普诺夫中心极限定理）设为独立随机变量序列，并且 ,记,若存在满足则随机变量之和的标准化变量的分布函数对于任意的满足这个定理是李雅普诺夫在1900年提出的。

它表明，在定理条件下，随机变量，当很大时，近似地服从正态分布由此，当很大时，近似地服从正态分布也就是说，无论各个随机变量服从什么分布，只要满足定理条件，那么它们的和，当很大时，就近似地服从正态分布，这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因在实际生活的很多问题中，所考虑的随机变量往往可以表示成很多个独立的随机变量之和例如：在任一指定时刻，一个城市的耗电量是大量用户的耗电量的总和；一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的，它们往往近似地服从正态分布在现实生活中，人们往往比较在意钱的花费，那么在器件价格预算方面，李雅普诺夫中心极限定理又有着怎样的神奇之处呢？请看下面这例题例4．某种器件使用寿命(单位:小时)服从指数分布,其平均使用寿命为20小时,具体使用时是一器件损坏后立即更换另一个新器件,如此继续,已知每个器件进价为a元试求在年计划中应为此器件作多少预算才可能有95%的把握一年够用（假定一年有2000个工作小时）？[3]解：设第k个器件使用寿命为，由于服从参数为的指数分布，且20，所以，，那么，假定一年至少准备n件才能有95%的把握够用，相互独立，记，由李雅普诺夫中心极限定理知即0.05=所以。

查表得：所以，在年计划中应为此器件作118件预算才可能有95%的把握一年够用四、中心极限定理在二项分布中的特殊应用由于二项分布在实际问题中有着大量的应用，因此在这些中心极限定理中，棣－拉中心极限定理有着更重要的地位，它可以解决的问题类型也特别多如果在棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理中，我们将二项分布看成是n个独立同分布的0—1分布的和，于是我们能得到下面的棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即如下的两个定理：设，则（1） 局部极限定理当n较大时，（2） 积分极限定理当n较大时，其中该定理的具体应用主要有以下几个方面：应用一：导出贝努利大数定理应用二：近似计算服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率应用三：已知服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率，估计该范围（或该范围的最大值）应用四：与用频率估计概率有关的二项分布的近似计算这里主要阐述棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理在现实生活中有关二项分布的应用问题在前面的学习中，我们已经知道了“二项分布的泊松近似”，即用泊松分布来作为相应的二项分布的近似在二项分布中，当n较大，而p又较小的情况下时，我们有以下的泊松定理定理5 （泊松定理）在n重伯努利试验中，记事件A在一次试验中发生的概率为（与试验次数n有关），如果当时，有，则而在二项分布中，当n较大，p又不小时，且当p处在和时，则用正态分布近似比较好，这就用到了棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理在各个方面都有着广泛的应用，尤其是在管理中也有着不小的应用，请看下面的这例题：例5. 水房拥挤问题：假设绍兴文理学院要建新校区，里面有学生5000人，只有一个开水房由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：(1)未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？(2)至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？[4]分析：首先，我们先设5000个学生中占有水龙头的人数为随机变量X，未新装水龙头前，拥挤的概率为p因为题中占有水龙头的人和人之间是独立的，而且占用水。