微积分课后习题参考 答案第六章.doc

《微积分》 主编：苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004 年 7 月第 1 版 课后习题参考答案详解第 1 页第六章第六章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程§§1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念习 题 6 — 1 1.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型：⑴，；03yyx3 Cxy解：是的通解；3 Cxy03yyx⑵，，其中 a，b 为常数；axxyybxaxy2解：是的特解（因为不是任意常数） ；bxaxy2axxyyb⑶，； 022 yyyyxyxxy xyyln解：是的特解； xyyln 022 yyyyxyxxy⑷，；0127 yyyxxeCeCy4 23 1解：是的通解；xxeCeCy4 23 10127 yyy⑸，.xyyy2103 503 55 22 1xeCeCyxx解：是的通解.503 55 22 1xeCeCyxxxyyy2103 知识点：，定义定义 6.26.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为 微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同， 这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。

2.在曲线族中找出满足条件，的曲线.xexCCy2 2110xy10xy解：由题意得：，xexCCCy2 22122∵，，10xy10xy∴解得,，11C12C故所求曲线为（） xexy21xxey23.某企业的净资产因资产本身的利息而以 8%的年利率增长，同时企业还必须以每年 100W 万元的数额连续地支付员工的工资.试给出描述该企业净资产（万元）的微分方程.W解：因为该企业的每年增加的净资产为万元，所以所求的微分方程为)10008. 0(W《微积分》 主编：苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004 年 7 月第 1 版 课后习题参考答案详解第 2 页.10008. 0WdtdW§§2 一阶微分方程一阶微分方程习 题 6 — 2 1.求下列微分方程的通解：⑴；05532yxx解：xxdxdy2 53dxxxdy 2 53Cdxxxdy 2 53；Cxxy32 51 21⑵；042dyxxydx解：dyxxydx24 24xxdx ydy Cdxxxydyln41 411 41  Cxxyln4lnlnln4；Cxyx44⑶；yxy10解：yx dxdy1010 dxdyx y101010ln1010Cdxdyx y10ln10ln10 10ln10Cxy ；Cxy1010⑷；yyayxy2解：21aydxdyxaxadx aydy 12aC xadx aydy12aCxaay1ln1；xaaCy1ln1⑸；0cossinsincosydyxydxx解：ydyxydxxcossinsincosdyyydxxx sincos sincosCdyyydxxx1lnsincos sincosCyx1lnsinlnsinln；Cyxsinsin⑹；0dyeedxeeyyxxyx解：dxeedyeeyxxy11dxeedyeexxyy11《微积分》 主编：苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004 年 7 月第 1 版 课后习题参考答案详解第 3 页Cdxeedyeexxyy1ln11Ceexy1ln1ln1ln；Ceeyx11⑺；xyxyysin解： xxydxdy1sindxxxydy1sinCdxxxydyln1sin Cxxylnlncosln；xeCxycos1⑻.022dyyxydxxxy解：dyxydxyx1122dyyydxxx 1122Cdxxxdyyyln12 1222Cxyln1ln1ln22Cxy22112.求下列微分方程的通解：⑴；22yxyyx解：2 1 xy xy dxdy令得：xyu 21uuudxduxxdxudu 21Cxdxuduln 12 Cxuulnln1ln2Cxuu21；222Cxyxy⑵；yxyyxy22解：dxdy xy dxdy xy 22 1  xy dxdy xy令得：xyu 12uuudxduxxdxduuu1Cxdxduu1ln11 Cxuu1lnlnlnCx ueu；xy Cey ⑶022xydydxyx《微积分》 主编：苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004 年 7 月第 1 版 课后习题参考答案详解第 4 页xyyx dxdy22令得：xyu uuudxdux1xdxudu Cxdxuduln21Cxuln21ln22 （） ；222lnCxxy 222lnCxxy⑷.01221      dyyxedxeyx yx解：dxedyyxeyx yx      2112   1221yxee dxdyyxyx令得：xyu 1122111ueeudxduxuuxdxduueueuu1121112Cxdxduueueuuln2111211 Cxueulnln21ln1    xCueu1 21.Cyexyx  23.求下列方程的通解：⑴；xxyyxcos212解：将方程变形为1cos 12 22xxyxxy解对应的线性齐次方程0122yxx dxdydxxx ydy212 Cxyln1lnln221xCy设原方程，求导得 21xxCy   222121xxxCxxCy 将上两式代入原方程，化简得  xxCcos∴ CxxCsin故原方程的通解为；1sin2xCxy⑵；xexyysincos解：解对应的线性齐次方程《微积分》 主编：苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004 年 7 月第 1 版 课后习题参考答案详解第 5 页0cosxydxdyxdxydycosCxylnsinlnxCeysin设原方程，求导得 xexCysin  xexCexCyxxcossinsin将上两式代入原方程，化简得  1 xC∴ CxxC故原方程的通解为；xeCxysin⑶；232xxyyx解：将方程变形为xxyxy231解对应的线性齐次方程01yxdxdyxdx ydyCxylnlnlnxCy 设原方程，求导得  xxCy    2xxCxxCy将上两式代入原方程，化简得  232xxxC∴ CxxxxC223 323故原方程的通解为；xCxxy223 32⑷；xxyy2sintan解：解对应的线性齐次方程0tanxydxdyxdxydytanCxyln2coslnln2cosxCy设原方程，求导得  2cosxxCy    2sincosxxCxxCy将上两式代入原方程，化简得  xxCsin4∴ CxxC2cos4故原方程的通解为；xxCy2cos2cos⑸；xxyy42解：解对应的线性齐次方程02 xydxdyxdxydy2Cxylnln22xCey设原方程，求导得 2xexCy《微积分》 主编：苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004 年 7 月第 1 版 课后习题参考答案详解第 6 页  222xxexxCexCy将上两式代入原方程，化简得 24xxexC∴ 22xexC故原方程的通解为；22xCey⑹；0lnlndyyxydxy解：将方程变形为yxyydydx1 ln1   21ln1 ln1Cdyeyexdyyydyyy   2ln ln1Cdyyy y2ln21 ln12Cyy2lnln21yCy ∴；Cyyx2lnln2⑺；3222xydxdyx解：将方程变形为 22221xyxdxdy   Cdxexeydxxdxx21 221 22Cdxxx222Cxx222223xCx∴；223xCxy⑻；0262ydxdyxy解：将方程变形为23yxydydx    Cdyeyexdyydyy332   Cdyyy23 21   Cyy213322Cyy∴；23 21yCyx⑼；23xyxydxdy解：将方程变形为xxydxdyy123令得1 yzdxdyydxdz2将上式代入变形后方程化简得xxzdxdz3  333Cdxexezxdxxdx   322 23 23Cdxxeexx   33122 23 23Ceexx2 23331xeC《微积分》 主编：苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004 年 7 月第 1 版 课后习题参考答案详解第 7 页∴2 23 13xCez（） ；Ceyx   2 2331Ceyx   2 2331⑽.4 321 3yxy dxdy解：将方程变形为321 33 4xy dxdyy 令得3 yzdxdyydxdz43将上式代入变形后方程化简得12 xzdxdz Cdxexezdxdx1112Cdxexexx12Cexexx12xCex 21∴xCexz21.xCexy21134.求下列微分方程的特解：⑴，；83yy20xy解：ydxdy38dxydy38Cxyln3138ln31xCey3831将代入通解，得20xy238C2C 故原方程的特解为；xey3432⑵，；xexyycos5cot4 2xy 25cotcoscotCdxeeeyxdxxxdx2sin25 sin2cosCxdxexxCexxcos5sin1Cexyxcos5sin将代入通解，得4 2xy1C 故原方程的特解为；15sincos。