高等数学期末复习重点题型.doc

微分方程部分习题微分方程部分习题若曲边梯形 的面积和弧 的长度成正比例（比例系数为 ） ，求曲线满足的微分方程 设曲线方程为，依题意有 （4 分） 两边对求得 （10 分） 曲边梯形面积公式曲边梯形面积公式：求微分方程通解 因为 故 即 （3 分） 两边积分得 （5 分） （10 分） 连接两点的一条光滑曲线，它位于弦的上方，为曲线上的任意点已知曲线与弦之间的面积为，求曲线所满足的微分方程 设所求曲线的方程为，则 （5 分） 两边关于求导得： （10 分） 求曲线族所满足的微分方程，并证明当用 代换 后，方程不变， （即解为自正交曲线） 对曲线族两边关于求导得 （1） （2 分） 从（1）解得 （2） （4 分） 把（2）代入曲线族方程并整理得曲线族所满足的微分方程 （3） （7 分） 在（3）中，将替换 即 （10 分） 微分中值定理部分习题.12152)(]3 , 0[23的正确性上的函数验证罗尔定理对区间xxxxf )0(12451827)3(,12)0(,)3 , 0(,]3 , 0[)(fffxf且内可导在上连续在4 分 7 分 10 分 .) 1 , 0(234:23内至少一个根在求证cbacxbxax2 分 4 分 6 分 8 分 10 分  . 0)()2 , 1 (, 0)2() 1 (,)2 , 1 (,2 , 1)(),() 1()( FffxfxfxxF使试证明存在且内二阶可导在具有一阶连续导数在其中设  ).0)2((0)2() 1 (,)2 , 1 (,2 , 1)(,)2 , 1 (,2 , 1)(:fFFxFxf因 因内二阶可导在具有一阶连续导数在则内二阶可导 在具有一阶连续导数在因证明3 分 5 分 8 分 10 分  .)(,) 1 , 0(:,1) 1 (, 1)0(,) 1 , 0(,1 , 0)(efeffxf使内至少存在一点在求证且可导在上连续设在3 分   使则至少存在的条件上满足罗尔定理在即因 且内可导在上连续在则),1 , 0(1 , 0)()1) 1 (, 1)0((, 0) 1 ()0() 1 , 0(,1 , 0)(xFeffFFxF6 分 8 分 10 分 , 0)()(0)(,),(,],[,,)(bfafxfbaxbabaxf若时且当可导在上连续在设可导在上连续在则为任意实数令证明),(,],[)()()()(:babaxFkexfxFkx3分 0)(),(],)[(0)()(0)()(FbabaxFbFaFbfaf使则至少存在上满足罗尔定理的条件即则又因7 分 10 分 。