2022高考数学满分突破之解析几何篇06圆锥曲线之焦点三角形（解析版）.pdf

专题 06 圆锥曲线之焦点三角形【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P与两焦点1F、2F构成的三角形:12PF F秒杀技巧与性质一：1.周长为定值：2()ac2.12,F PF当点P靠近短轴端点时增大， 当点P靠近长轴端点时减小；与短轴端点重合时最大 (注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当 P在短轴端点时顶角最大)秒杀技巧与性质二：3.三角形面积：212tan22Scycyb，max,Sbc即P与短轴端点重合时面积最大秒杀技巧与性质三：4.焦点直角三角形:底角为90，有四个 (四个全等，P点为通径端点 )；顶角为90，即以12F F为直径的圆与椭圆交点为点P：2(0),022(),222(1),42bcebc ebce秒杀技巧与性质四：5.双曲线 :.焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个；.1 22.cot(2PF FSb为焦点三角形的顶角)=cy等面积思想在解题时非常重要考点精选例题精析】：例 1 （2021 全国高三月考（文） ）已知双曲线22:1169xyC的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B两点，且60AFB，则ABF的面积为（）A3 B92C3 3D6 3【答案】 C 【分析】数形结合可知四边形1AFBF为平行四边形，然后根据余弦定理以及双曲线的定义可知112BF BF，最后根据三角形面积公式可得结果. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为1F，连接1AF，1BF，依题可知，四边形1AFBF为平行四边形. 由60AFB可得1120F BF，122 16910F Fc. 在1BF F中，由余弦定理可得：22211112cosBFBFBFBFF BFF F，即2211100BFBFBFBF，又因为点B在双曲线上，则128BFBFa，所以2211264BFBFBFBF，两式相减得1336BF BF，即112BF BF，所以111113sin123 3222F BFSBFBFF BF，也即为ABF的面积，故选：C. 【点睛】关键点点睛：四边形1AFBF为平行四边形是解决本题的关键，同时利用余弦定理，双曲线定义方便解题. 例 2 （2021 全国高三二模（理） ）已知椭圆222210 xyabab，点F为右焦点，B为上顶点，平行于FB的直线l交椭圆于M，N两点且线段MN的中点为11,24Q，则椭圆的离心率为（）A22B12C14D32【答案】 A 【分析】求得直线l的斜率，然后使用点差法进行计算，最后根据离心率的公式计算即可. 【详解】设1122,Mx yN xy，直线l的斜率为k则2211221212121222222222101xyxxxxyyyyababxyab所以2121221212yyyybxxxxa，由线段MN的中点为11,24Q所以121211,2xxyy所以222kba，又bkc，所以222bbca，又222abc所以bc，222ace，故选： A. 例 3 （2021 全国高三专题练习（文）过曲线1C：22221xyab(0ab)的左焦点1F做曲线2C：222xya的切线，设切点为M，延长1F M交曲线3C：22ypx(0p)于点N，其中1C?3C有一个共同的焦点，若1MFMN，则曲线1C的离心率为（）A51B512C5D51【答案】 D 【分析】双曲线的右焦点坐标为2()0Fc，利用O为1F?2F中点，M为1F N 中点，可得OM为12NF F中位线，从而可求1NF，再过点N作抛物线准线垂线，垂足为P，利用勾股定理得出,a c的关系式，最后可求得离心率. 【详解】设曲线1C右焦点为2()0Fc，又曲线1C与2C有一个公共焦点，则3C：24ycx，连接OM?2NF，O为12F F中点，M为1F N中点，OM为12NF F中位线，则2/ /OMNF，|OMa，22NFa，1OMNF，21NFNF，122F Fc，12NFb，设,N x y，则由抛物线的定义可得2xca，2xac过点1F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a，由勾股定理22244yab，即2224244cacaca，得211ee，所以152e或152(舍)，故选： D. 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合b2c2a2转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或 a2转化为关于e的方程 (不等式 )，解方程 (不等式 )即可得 e(e 的取值范围 )例 3 （2021 黑龙江大庆市 大庆中学高二期末（文）已知12FF，分别是椭圆221164xyC：的左，右焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且12PFPF，则12PF F的面积为 _【答案】4【分析】结合椭圆定义求得12PF PF可得面积【详解】由椭圆方程知4,2ab，212c，因为12PFPF，所以222121244828PFPFcPFPFa，所以128PF PF，所以1212142PF FSPFPF故答案为： 4例 4（2021 河南新乡市 高三二模（文） 已知双曲线22:143xyC的左、右焦点分别为1F，2F， 点4,3M，则12F MF的角平分线所在直线的斜率为_【答案】 1 【分析】先确定双曲线焦点，计算1MF，2MF，再设角平分线与x轴交于,0N x，利用角平分线定理1122NFMFNFMF构建方程解出x，最后利用连点连线的斜率公式即得结果. 【详解】由题意知，C的半焦距7c，17,0F，27,0F，故22147322 7MF，2224732 72MF设12F MF的角平分线与x轴交于,0N x，由角平分线定理可知1122NFMFNFMF，故722 772 72xx，解得1x，即1,0N故12F MF的角平分线所在直线的斜率30141MNk故答案为： 1. 例 5 （2021 全国高三月考 （理） ）过双曲线222210,0 xyabab的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点,M N，若3MN，4FN，则双曲线的标准方程是 _. 【答案】221936xy【分析】设QFO，则cosbc，在1F MF中，由余弦定理得22cosaFbcbMba，同理得22cosaFbcbMba，再结合3MN，4FN即可,a b值【详解】如图，根据点到直线的距离公式可得点F到直线byxa的距离为b. 设双曲线的左焦点为1F，连接1MF，则12MFFMa. 在RtOQF中，设QFO，则cosbc，在1F MF中，由余弦定理得2221112cosMFFMFFFMFF，将12MFFMa代入整理后得22cosaFbcbMba，同理22cosaFbcbNba. 因为223MaQFMQFQNbbbababbQbFbFNa，所以12ab，将其代入24bbaFN，解得3a，6b，因此所求方程为221936xy，故答案为：221936xy【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于由余弦定理得2221112cosMFFMFFFMFF，将12MFFMa代入整理后得22cosaFbcbMba与22cosaFbcbNba例 6(2017 年新课标全国卷I 文 12)设A、B是椭圆C1323myx长轴的两个端点,若C上存在点M满足120AMB,则m的取值范围是() A.,91 ,0B.,93,0C.,41 , 0D., 43,0【解析 】 ： 当03m时,椭圆的焦点在x轴上 ,要使 C 上存在点M 满足120AMB,则tan603ab,即33m.得01m;当3m时 ,椭圆的焦点在y轴上 ,要使C 上存在点M 满足120AMB,则tan603ab,即33m,得9m,故 m 的取值范围为,91 ,0,选 A.例 7(2015 年新课标全国卷I5)已知00, yxM是双曲线12:22yxC上的一点 ,21,FF是C的两个焦点 ,若021MFMF,则0y的取值范围是( ) A.33,33B.63,63C.322,322D.332,332【解析 】 ：秒杀方法：当21MFMF时，由等面积得：33312tan2yyycbS，选 A。

例 8 （2021 江苏盐城市 高三二模） 已知双曲线2222100 xyCabab：，的左、右焦点分别为12,FF，过点2F作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于,A B两点，其中点A在第一象限，且1cos,4若1ABAF，则双曲线C的离心率为（）A4B15C32D2【答案】 D 【分析】由双曲线的定义，可得22BFa，14BFa，在12BF F中，由余弦定理可得22260caca，再由1cea，即可得解. 【详解】由双曲线的定义知，122AFAFa，因为1ABAF，即1222AFAFBFa，所以1224BFBFaa，在12BF F中，由余弦定理知，2222121212cos2BFF FBFBFF F，所以2222214416342 222acacaacac，所以22260caca，因为1cea，所以2260ee，解得2e或32e（舍去）所以双曲线的离心率为2，故选： D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，解题思路如下：（1）根据题意，画出相应的图形；（2）利用定义找出三角形的边长；（3）利用余弦定理找出边的关系，找出离心率的关系式；（4）结合双曲线的离心率的取值范围作出取舍，求得结果. 【达标检测】 ：1 （ 2021东至县第二中学高二月考（文）已知P是椭圆221259xy上的一点，O是坐标原点，F是椭圆的左焦点且1()2OQOPOF， |4OQ，则点P到该椭圆左准线的距离为（）A6 B 4 C3 D52【答案】 D 【分析】根据已知条件先判断出Q点位置，然后根据椭圆的定义求解出PF的长度，最后根据PF的长度比上P到准线的距离等于离心率求解出结果. 【详解】设椭圆的右焦点为F，P到椭圆左准线的距离为d，连接OQ , 因为1()2OQOPOF ，所以PF，所以Q为PF的中点，又因为O为FF的中点，所以28PFOQ，又因为2 510PFPF，所以2PF，因为259455PFed，所以52d，故选： D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是掌握椭圆的第一、第二定义，通过第一定义可求解出PF的长度，通过第二定义可直接求解出P到左准线的距离，避免复杂计算. 2 （ 2021河南高三月考（理） ）已知双曲线2222:10,0 xyEabab的左、右焦点分别为12,FF，过2F作圆222:Oxya的切线，切点为T，延长2F T交双曲线E的左支于点P若222PFTF，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A2,B5,C2,5D2,6【答案】 C 【分析】连接1,OT PF，所以可得2221,cos,2bTFbPF OPFPFac，在12PF F中利用余弦定理可得22bPFba，即可得到ba，再由222PFTF，得到22bbba，即可得到不等式组，从而求出离心率的取值范围；【详解】解：如图，连接1,OT PF，设2,0Fc(c为E的半焦距 )，在直角三角形2TOF中2,OTa OFc，则2221,cos,2bTFbPF OPFPFac所以122PFPFa在12PF F中，222121221222cosPFPFF FPFF FOF P即2222222422bPFaPFcPFcc所以22bPFba所以ba又222PFTF所以22bbba化简得2ba所以2aba所以2224aba即22224acaa解得25ca即25e故选：C【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合b2c2a2转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或 a2转化为关于e的方程 (不等式 )，解方程 (不等式 )即可得 e(e 的取值范围 )3 （ 2。