【考点训练】平行四边形的判定-.docx

考点训练】平行四边形的判定4一、解答题(共10小题)(选答题，不自动判卷)1.如图，分别以AABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三 角形BCE,等边三角形ACF,连接DE, EF.求证：四边形ADEF是平行四边形.2.如图，已知点 E, C 段 BF , BE=EC=CF, AB〃DE, ZACB=ZF.(1) 求证：ZiABC竺ADEF；(2) 试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论.3.如图，［□村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一 棵大核桃树.田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核 桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设 想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由(画图要保留痕迹，不写 画法).4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD, AB 的点，且DE=BF,求证:(1) CE=AF；(2) 四边形AFCE是平行四边形.5. 如图，在平而直角坐标系中，AB〃OC, A (0, 12), B (a, c), C (b, 0), 并且a, b满足b=Va~21+ V21-a+16. 一动点P从点A出发，段AB上以每秒 2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点0出发段OC上以每秒1个单 位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点 B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t (秒)(1) 求B、C两点的坐标；(2) 当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标;(3) 当t为何值吋，△(!(：是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐6. 女F1 图，在AABC 中，ZACB二90, D 是 BC 的中点，DE1BC, CE〃AD,若 AC二2, CE 二 4；(1) 求证：四边形ACED是平行四边形(2) 求四边形ACEB的周长.7.如图，E, F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD〃BC, DF//BE, AE=CF.求证：(1) Aafd^Aceb；(2)四边形ABCD是平行四边形.&如图，四边形ABCD中，AD〃BC, AE丄AD交BD于点E, CF丄BC交BD于点F, KAE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.9.如图，AABC中，点D, E分别是边BC, AC的中点，连接DE, AD,点F在 BA的延长线上，且AF二丄AB,连接EF,判断四边形ADEF的形状，并加以证明.10・嘉淇同学要证明命题〃两组对边分别相等的四边形是平行四边形〃是正确的,她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.已知：如图1,在四边形ABCD中，BC二AD, AB= 求证：四边形ABCD是 四边形.(1) 填空，补全已知和求证;(2) 按嘉淇的想法写出证明;(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 我的想法是：利用三角形 全等，依据;两组对辺分 别平行的四边形是平行四 边形"来证明图2 嘉淇【考点训练】平行四边形的判定4参考答案与试题解析一、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）1.如图，分别以AABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三 角形BCE,等边三角形ACF,连接DE, EF.求证：四边形ADEF是平行四边形.【分析】根据等边三角形的性质推出ZBCE二ZFCA二60。

求出ZBCA二ZFCE,证ABCA^AECF,推出AD=EF=AB,同理得出DE=AF,即可得出结论.【解答】证明「••△BCE、AACF> AABD都是等边三角形，・・・AB二AD, AC=CF, BC=CE, ZBCE=ZACF,・・・ ZBCE ・ ZACE=ZACF - ZACE,即 ZBCA=ZFCE,在ABCA 和ZiECF 中，"BC 二 CE< ZBCA=ZECF，,AC二CFAABCA^AECF （SAS）,・・.AB 二 EF,TAB 二 AD,AAD=EF,同理DE=AF,・・・四边形ADEF是平行四边形.【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定.2.如图，已知点 E, C 段 BF 上，BE=EC=CF, AB〃DE, ZACB=ZF.(1) 求证：Aabc^Adef；(2) 试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论.【分析】(1)根据平行线得出ZB=ZDEF,求出BC=EF,根据ASA推出两三角形 全等即可；(2)根据全等得出AC=DF,推岀AC〃DF,得出平行四边形ACFD,推出AD〃CF, MAD=CF,推出AD=CE, AD〃CE,根据平行四边形的判定推出即可.【解答】证明:(1)・・・AB〃DE,/. ZB=ZDEF,VBE=EC=CF,・•・ BC=EF,在aabc和adef中"Zb 二 Zdef< BC二EF,ZACB 二 ZFa AABC^ADEF ・(2)四边形AECD的形状是平行四边形,证明：v Aabc^Adef,/.AC=DF,・.・ ZACB=ZF,・・・AC〃DF,・・・四边形ACFD是平行四边形，・・.AD〃CF, AD=CF,VEC=CF,・・・AD〃EC, AD=CE, ・・・四边形AECD是平行四边形.【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角 形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力.3.如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一 棵大核桃树.田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核 桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问m村能否实现这一设 想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由(画图要保留痕迹，不写 画法).【分析】连接AC、BD,然后分别过点A, B, C, D作AC、BD的平行线，根据两 组对边分别平行的四边形是平行四边形.【解答】解:能.【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行 四边形.4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD, AB上的点，且DE=BF,求证:(1) CE=AF；(2) 四边形AFCE是平行四边形.【分析】(1)根据平行四边形的对边相等得AB=CD,已知DE=BF,再作线段的差 可得CE二AF；(2)利用CE与AF平行且相等，可证四边形AFCE是平行四边形.【解答】证明：(1) V四边形ABCD为平行四边形，AAB=CD.又 VDE=BF,AAB - BF=CD - DE.即AF=CE・(2) VAF=CE, AF〃CE,・・・四边形AFCE是平行四边形.【点评】本题考查了平行四边形的性质及判定方法•平行四边形的五种判定方法 与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们 的区别与联系.5. 如图，在平面直角坐标系中，AB〃OC, A (0, 12), B (a, c), C (b, 0), 并且a, b满足b=Va-21+V21-a+16・一动点P从点A岀发，段AB上以每秒 2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点0出发段OC上以每秒1个单 位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、0同吋出发，当点P运动到点 B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t (秒)(1) 求B、C两点的坐标；(2) 当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标;(3) 当t为何值时，△(!(：是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐 标.【分析】(1)根据二次根式的性质得出a, b的值进而得出答案；(2) 由题意得:QP=2t, QO=t, PB=21 - 2t, QC=16 - t,根据平行四边形的判定 可得21 - 2t=16 - t,再解方程即可；(3) ①当PQ二CQ时，122+t2= (16 - t) 2,解方程得到t的值,再求P点坐标;②当PQ二PC时，由题意得：QM=t, CM=16 - 2t,进而得到方程t=16 - 2t,再解 方程即可.【解答】解：(1)b=Va-21+V21-a+16,/.a=21, b=16,故 B (21, 12) C (16, 0)；(2) 由题意得：AP=2t, QO=t,则：PB=21 - 2t, QC=16 - t,・・•当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形，：.21 - 2t=16 ・ t,解得：t二5,/.P (10, 12) Q (5, 0)；(3) 当PQ二CQ时，过Q作QN丄AB,由题意得：122+t2= (16 - t) 2,解得：42故 P (7, 12), Q (丄，0),2当PQ二PC吋，过P作PM丄x轴，由题意得：QM=t, CM=16 - 2t,则 t=16 ・ 2t,解衛t呼2呼【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定，关键是注意分 类讨论，不要漏解.6. 如图，在AABC 中，ZACB=90, D 是 BC 的中点，DE丄BC, CE〃AD,若 AC二2, CE=4；(1) 求证：四边形ACED是平行四边形(2) 求四边形ACEB的周长.【分析】(1)先根据垂直于同一条直线的两直线平行，得AC〃DE,又CE〃AD, 所以四边形ACED是平行四边形；(2)四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2.由勾股定理和中线的定义可 求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长.【解答】解：(1)证明:VZACB=90, DE丄BC,・・・AC〃DE又 VCE//AD・・・四边形ACED是平行四边形.(2)・・•四边形ACED是平行四边形.ADE=AC=2.在RtACDE中，由勾股定理得CD=7CE2_DE2=2^.•・・D是BC的中点,.・.BC二2CD二4爲・在AABC 中，ZACB二90,由勾股定理得 AB=^AC2+ BC2=2713・TD是BC的中点,DE丄BC,AEB=EC=4.・•・四边形ACEB的周长二AC+CE+EB+BA=10+2莎・【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻 找求AB和EB的长的方法和途径是解题的关键.7.如图，E, F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD〃BC, DF〃BE, AE=CF.求 证：(1) AAFD^ACEB；(2) 四边形ABCD是平行四边形.【分析】(1)根据全等三角形的判定定理ASA证得△ AFD^ACEB；(2)利用(1)中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB,则由“有一组对边相 等且平行的四边形是平行四边形〃证得结论.【解答】证明：⑴如图，・.・AD〃BC, DF〃BE,A Z1=Z2, Z3=Z4.又 AE=CF,.•.AE+EF二CF+EF,即 AF=CE・在△AFD 与Z\CEB 中，V1=Z2< AF二CE ，Z3 二 Z4/.AAFD^ACEB (ASA)；(2)由(1)知，△AFD竺Z\CEB,贝lj AD=CB.又・.・AD〃BC,・・・四边形ABCD是平行四边形.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定.全等三角形 的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等。