[理学]数学物理方法第4章.ppt

1,第四章 留数定理,数学中的一些美丽定理具有这样 的特性: 它们极易从事实中归纳出来 , 但证明却隐藏的极深. 数学是科学 之王. 高斯,2,学习要求与内容提要,,目的与要求：掌握留数的概念及计算方法掌握 用留数定理计算典型实定积分的方 法重点：,难点：,留数的计算与留数定理,留数的计算与留数定理,3,（一）留数引入,,,.,的某去心邻域,4.1 留数定理,4,,5,（二）有限远留数定理,说明:,2. 留数定理将沿封闭曲线l积分转化为求,被积函数在l内各孤立奇点处的留数.,6,证,两边同时除以 且,由复连通域的柯西定理,7,2.留数的计算方法,如果 为 的一级极点, 那末,规则1,8,解,如果 为 的 级极点,,规则2,那末,9,解,10,解,为一级极点,,为二级极点,,11,规则3,如果,的一级极点,,且有,分析,由规则3得,12,计算较麻烦.,解,13,,（三）无穷远点的留数,,注意积分路线取顺时针方向,,说明,记作,1.定义,l为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，,14,证,由留数定义有:,15,说明: 由定理得,(留数定理),计算积分,,计算无穷远点的留数.,优点: 使计算积分进一步得到简化.,(避免了计算诸有限点处的留数),16,说明:,如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,,2. 在应用规则2时,,取得比实际的级数高.,级数高反而使计算方便.,1. 在实际计算中应灵活运用计算规则.,为了计算方便一般不要将m,但有时把m取得比实际的,如上例取,17,解：共有七个奇点： 前6个根均在 内部，故由留数和定理可用求无限远奇点留数解此题。

即,例5 计算,而 故 从而,18,§4.1 1.（1）（3）（5）（7）（9） 2. （1）（3） 3.,本讲作业,19,4.2 应用留数定理计算实变函数定积分,20,留数定理计算实变函数定积分原理： 设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数这就要利用解析延拓的概念21,,,,,,,如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 [a,b] (线段l1 )，此区间应是回路l=l1+l2的一部分实积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中，而实积分成为回路积分的一部分：,左边可以利用留数定理，右边对l2 的积分在解析延拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择l2 使积分最易完成22,（一）形如 的积分,思想方法 :,封闭路线的积分 .,两个重要工作:,1) 积分区域的转化,2) 被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,,,23,,,,z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件包围在单位圆周 内的诸孤立奇点。

24,例1 计算积分,解,则,25,26,例2,解,故积分有意义.,27,28,因此,29,例3,证,,如图路径，,,30,注意：由图可得出,31,令两端实部与虚部分别相等，得,,菲涅耳(fresnel)积分,,32,（二）形如 的积分,分析,可先讨论,最后令,即可 .,33,下面分析中采用“围道积分法”和留数定理计算！ 首先把积分转化为围道积分，即,,34,这里可补线,(以原点为中心 , R为半径,的在上半平面的半圆周),内部(除去有限孤立奇点）处处解析.,取R适当大, 使f(z)所有的在上半平面内的极点,都包在这积分路线内.,35,根据留数定理得 :,当 充分大时, 总可使,36,37,例4 计算积分,解,38,39,积分存在要求: F(x)是x的有理函数而分母的次,数至少比分子的次数高一次, 并且F(z)在实轴上,无孤立奇点.,与,曲线l ,使F(z)所有的在上半平面内的极点,包在这积分路线内 .,同前一型: 补线,一起构成封闭,都,（三）形如 的积分,,,40,,对于充分大的 , 且 时, 有,,41,,,从而,42,,,由留数定理:,,43,例5 计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,44,45,,,（四）实轴上有单极点的情况,46,,,47,,,48,,例5 计算狄利克雷积分,分析,,因,在实轴上有一级极点,应使封闭路,线不经过奇点, 所以可取图示路线:,49,解,封闭曲线l:,由柯西-古萨定理得:,由,50,51,当 充分小时, 总有,,ld,52,即,,53,54,55,,56,§4.2 1.(1)(2)(6) 2. (1)(2)(6) 3.(2)(4)(6),本讲作业,57,如果 为 的 级极点,,附录1： 规则2,证,那末,58,+(含有 正幂的项),得,59,规则3,如果,证,的一级极点,,且有,60,,因此,其中 在 解析且,为 的一级极点,,61,附录2.在无穷远点处留数的计算,规则4,说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线,积分的又一种方法:,此法在很多情况下此法更为简单.,62,现取正向简单闭曲线l为半径足够大的,正向圆周 :,于是有,证*,63,[证毕],64,解,根据定理 2与规则4:,与以下解法作比较 :,65,由规则3,可见, 利用无穷远点的留数更简单.,思考题,答：,。