空间中直线与直线的位置关系.ppt

空间中直线与直线的位置关系高二 15, 16 班,复习引入：,1、同一平面内不重合两条直线有几种位置关系？,2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？,(1)、相交：有且仅有一个公共点2)、平行：在同一平面内没有公共点互相平行,提出问题：空间中的两条直线呢？,1.空间中两条直线的位置关系,观察上方体的棱所在 直线AB与DD’,回答类似的问题.,思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？,异面直线的定义:,我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线想一想:怎样通过图形来表示异面直线?,为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托如下图:,,,,,,,,,,想一想 ?,1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？,,,,,,,2. 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？,想一想?,三对,AB与CD AB与GH EF与GH,3.,空间两条直线的位置关系有且只有三种,没有,只有一个,没有,共面,不共面,共面,空间中两条直线的位置关系,2. 空间两平行直线,提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

在空间中，是否有类似的规律？,,公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：判断空间两条直线平行的依据a∥b c∥b,,,a∥c,符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若,想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?,3. 等角定理,提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”在空间中,结论是否仍然成立呢?,观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,3. 等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3. 等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.,4. 异面直线所成的角,如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。

为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a' 和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角4. 异面直线所成的角,如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中 （1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？,解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线,成异面直线的有直线,，,例题示范,例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中 （1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？,解：（2）由 可知，等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 与 的夹角为450 3) 直线,与直线 都垂直.,练 P48页练习1,2题例3: 如图， 是平面 外的一点 分别是 的重心， 求证： 。

证明：连结 分别交 于 ,连结 , ∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重心,∴M,N分别是BC,CD的中点, ∴MN//BD, 又∵ ∴ GH//MN,由公理4知GH//BD.,练：,1. 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ）,√,×,√,√,×,×,练：,2．选择题（1）“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ,且a不平行于b；② a Ì平面a，bÌ平面b且a∩b=Φ ③ a Ì平面a，b 平面a ④ 不存在平面a，能使a Ìa且b Ìa成立 上述结论中，正确的是 （ ） （A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④,（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对,C,C,（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面,3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？,答：不一定，还可能异面．,D,D,4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？,答：三种：相交，平行，异面．,5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．,6．选择题（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （ ）（A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足a Ìa,b Ìb,a∩b=l, 则l与a,b的位置关系一定是（ ）,(A)l至多与a，b中的一条相交; (B)l至少与a，b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a，b中的一条平行.,D,B,（3）两异面直线所成的角的范围是 （ ） （A）（0°,90°） （B）[0°,90°) （C）（0°,90°] （D）[0°,90°],7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ）（2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ）（3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ）,C,×,√,×,课堂小结： 这节课学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念； 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”,,。