数学建模课件58讲第8讲误差分析灵敏性分析稳定性分析.ppt

第8讲 数学模型分析,第1章 数学建模概述,数学建模,误差分析,数学模型分析,一、,灵敏性分析,二、,稳定性分析,三、,对数学模型进行理论及计算方面的分析是十分重要的，分析的内容也包含多个方面，本节介绍常见的三种分析一、误差分析,数学建模,建模误差,将实际问题通过合理的简化假设近似地表示为数学模型，这种近似表示会产生模型误差由于各种条件的限制，通过观测得到的数据与真值之间往往存在一定差异，这种观测误差会给模型求解引进一定的误差在模型求解时需要先将模型转化为计算机可执行的近似形式，再利用合适的算法进行求解，这种模型转化会使模型数值解的计算产生误差，即方法误差（或截断误差）由于计算机表示的有效数字的位数有限，在利用计算机计算时，对超出计算机所能表达的位数的数字进行舍入，这样就产生了舍入误差误差分析的主要任务是分析模型误差与方法误差，通常利用绝对误差和相对误差来衡量误差的大小数学建模,建模误差,一、误差分析,模型假设产生的模型误差，若误差无法消除，需要分析这些误差对模型产生的影响，并对误差值进行估计； 若通过修改模型假设可以减少误差的影响，则需要修改假设，改进模型，以提高模型的准确性 如，在前面给出了鱼的重量估计模型 此模型误差源于对问题的简化假设： 1）鱼的形状是几何相似的， 2）鱼的平均重量密度不变。

数学建模,,1. 模型误差,修改模型假设，增加假设： 3）鱼的横截面是几何相似的，用鱼的腰围作为特征量； 4）鱼的重量主要来自鱼的主体，鱼头和鱼尾占总重量的比例小 重新分析并得到了鱼重量估计的改进模型 ： 计算比较验证了改进模型比原模型的绝对误差减少数学建模,1. 模型误差,,2. 方法误差,在模型的求解过程中，利用数值方法近似求解、通过函数近似处理以及计算机运算等都会产生方法误差 对方法误差，可选择更合适的模型转化方法，以减少方法误差对模型结果的影响 如：人走路时每秒消耗的总能量模型为 模型比较复杂数学建模,,2. 方法误差,模型求解时，考虑步长s不太长的条件，可通过泰勒展开处理 即 总能量模型的近似形式 求得近似最优步数为,数学建模,,,,,此种转化必然会使模型的最优解产生误差,如果误差在可容忍的范围内，则该处理方法可以使用，否则不能用二、灵敏性分析,灵敏性分析的主要任务是考虑数学模型中的参数或变量发生微小变化时，模型的解的变化情况 灵敏性分析可以定性或定量地评价参数或变量的变化对模型结果产生的影响 直接法和有限差分法是常用的灵敏性分析方法 1. 直接求导法 对于参数个数较少、参数的导数容易推导的数学模型，直接法是一种简单快速的灵敏性分析的方法。

数学建模,1. 直接求导法,考虑非时变的数学模型 其中x为自变量， 为m维参数向量 定义 f 对参数 cj 的灵敏度为 即 f 对参数 cj 的灵敏度是函数 f 对参数 cj 的导数，表示参数 cj 的变化引起函数 f 变化的快慢程度 针对实际问题，由于变量的量纲不同，因此通常采用 f 对参数 cj 相对灵敏度,数学建模,,,,,1. 直接求导法,对不允许缺货的货物存贮模型，利用直接求导法分别计算最优订货周期 T0*对参数c1,c2,r的相对灵敏度：,数学建模,,,,,,当c1增加1%时， T0*约增加0.5%，,当c2或 r增加1%时， T0*约减少0.5%参数 有微小变化时对最佳订货周期 的影响并不大,2. 有限差分法,基于数值微分思想，利用差分格式计算模型结果在参数变化时的变化量，获得灵敏度信息 考虑函数 其中 为m维参数向量 定义灵敏度 和相对灵敏度,数学建模,,2. 有限差分法,有限差分法计算的灵敏度是直接求导法计算的灵敏度的一个近似表达形式， 其计算与 的选择有关，可根据实际问题的相关信息来选择 数学建模,,,2. 有限差分法,例如，在不允许缺货的货物存贮模型中，利用差分法分别计算最优订周期T0*对参数c1,c2,r的相对灵敏度：,数学建模,,此处的稳定性是指数值算法的稳定性，即初始数据的误差在算法执行过程中能否得到控制。

在实际计算过程中，参与运算的各种数据一般都有误差，这个误差或者是初值本身就有（如观测误差）或者是受计算机有限数字位数限制所造成的舍入误差 如果计算结果对初始数据的误差以及计算过程中的舍入误差不敏感，则认为相应的计算过程是稳定的，否则就称为不稳定的数学建模,三、稳定性分析,误差虽然很小，但是随着算法执行过程的进行，误差会不断地传播下去，对以后的结果产生一定的影响三项递推算法的稳定性 设三项递推关系为 其初值为 与 ，试分析该递推关系的稳定性数学建模,,,,,,三、稳定性分析,数学建模,,,,,,,,,,设 ，简记 为P、 t(x)为t、 a(x)为a、b(x)为b，代入三项递推关系式，得到,三、稳定性分析,解得 即有两个互相独立的序列{t1 }和{t2}满足三项递推公式，于是其通解为 其中，A与B是任意常数根据给定的初值，可以解出,数学建模,,,,,三、稳定性分析,在实际过程中,P0与P1通常是有误差的，因此A与B有误差，分别记作 与 ，从而计算得到的序列Pn有误差 ，即 由此得到误差序列为,数学建模,,,,三、稳定性分析,如果| t1|与|t2 |均小于1或等于1，则其误差序列的绝对值| △ Pn|随着n的增大而减小或不变，即误差得到了控制，因此递推关系式是稳定的； 如果| t1|与|t2 |有一个大于1，则| △ Pn|随着n的增大而增大，甚至趋近于无穷大，误差得不到控制，因此该递归关系是不稳定的。

| t1|与|t2 |的大小决定于递推关系式中的系数a和b的构造，即决定于递推关系这一算法数学建模,,。