2023年江苏省连云港市赣榆县外国语学校高三数学理测试题含解析.docx

2023年江苏省连云港市赣榆县外国语学校高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，则|z|等于（　　）A．3B．2 C．3 D．2参考答案：A【考点】复数求模．【分析】由已知条件利用复数代数形式的乘除运算法则和复数的实部和虚部相等，求出z=3+3i，由此能求出|z|．【解答】解：z====﹣i，∵复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，∴，解得b=﹣9，∴z=3+3i，∴|z|==3．故选：A．【点评】本题考查复数的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用．2. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们到直线的距离之和等于5,则这样的直线                                 A．有且仅有一条   B．有且仅有两条   C．有无穷多条     D．不存在参考答案：本题答案应为D(试题提供的答案是B)抛物线的焦点坐标为，准线方程为若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于6，不适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB为，代入抛物线y2=4x得，，所以。

因为A,B到直线的距离之和等于5,即，即，所以，解得，显然不成立，所以不存在这样的直线，选D.3. 下列命题正确的是（　　）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）C．对于命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0，则x≠3”参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件；B，函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点不是点，是方程的根；C，命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，；D，命题的否命题既要否定条件，又要否定结论；【解答】解：对于A，“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件，故错；对于B，函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是3，﹣2，故错；对于C，命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，正确；对于D，命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6≠0，则x≠3，故错；故选：C4. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（    ）（A）               （B）（C）               （D）参考答案：5. 数列的首项为，为等差数列且 .若则，，则=                                                        (     )A. 0         B.  3           C. 8               D. 11参考答案：B略6. 已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+，且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（　　）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3] C．[1，+∞） D．[0，+∞）参考答案：C【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，求出m的范围即可．【解答】解：∵g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+，∴g′（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）+x，∴g′（1）=g′（1）﹣g（0）+1，解得：g（0）=1，g（0）=g′（1）e﹣1，解得：g′（1）=e，∴g（x）=ex﹣x+x2，∴g′（x）=ex﹣1+x，g″（x）=ex+1＞0，∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0，∴g′（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，∴g（x）min=g（0）=1，若存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，解得：m≥1，故选：C．【点评】本题考查了求函数的表达式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．7. 二项式的展开式中的系数是－7，则a=A. 1 B. C. D. －1参考答案：B8. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上，则=（　　）A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于边长之比，把边长代入，得到比值【解答】解：∵△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上∴a=2，即AB+CB=2a，AC=2c∵由正弦定理知，∴则=．故选：C．【点评】本题考查椭圆的性质和正弦定理的应用，解题的关键是把角的正弦值之比写成边长之比，进而和椭圆的参数结合起来．9. 双曲线的实轴长是（Ａ）２　　　　（Ｂ）　　　　　（Ｃ）４　　　　（Ｄ）参考答案：C 本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质，属简单题.双曲线方程可变为，所以,。

故选C. 10. 已知直线直线有下面四个命题：（  ）   ①∥②∥③∥，④∥.其中正确的两个命题是（A）①与②          （B）①与③          （C）②与④          （D）③与④参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，，若，则__________．参考答案：12. 如右图，从圆外一点引圆的割线和，过圆心，已知，则圆的半径等于          ．参考答案：设半径为，则,.根据割线定理可得，即，所以，所以13. 函数f(x)＝xex－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．参考答案：14. 已知函数f（x）=，则f（1+log23）的值为　　．参考答案：【考点】函数的值；抽象函数及其应用．【分析】利用分段函数以及函数的关系式，求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，1+log23＜3，2+log23＞3则f（1+log23）=f（2+log23）==（）2×（）=（）2×（2﹣1）=（）2×2=×3﹣1=．故答案为：．15. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是________.参考答案：试题分析：依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x-3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程．∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），∴该圆的标准方程是 ；考点：圆的标准方程，圆的切线方程16. 已知函数的定义域[-1，5]，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，    下列关于函数的命题；    ①函数的值域为[1，2]；    ②函数在[0，2]上是减函数；    ③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；    ④当有4个零点。

    其中真命题为     （填写序号）参考答案：②17. 已知平面区域，在区域内任取一点，则取到的点位于直线（）下方的概率为____________ .参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）  设数列的前n项和为，已知，且当时，（1）求的值；（2）求数列的通项公式参考答案：19. 在数学趣味知识培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩如下茎叶图所示：(Ⅰ)从甲、乙两人中选择1人参加数学趣味知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识    说明理由：(II)从乙的6次培训成绩中随机选择2个，，试求选到123分的概率．参考答案：略20. 已知数列{an}中，a1=1，a2=3，其前n项和为Sn，且当n≥2时，an+1Sn﹣1﹣anSn=0．（1）求证：数列{Sn}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）令bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可证明．（2）当n≥2时，bn==，又．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）证明：当n≥2时，an+1Sn﹣1﹣anSn=0．∴，∴，又由S1=1≠0，S2=4≠0，可推知对一切正整数n均有Sn≠0，则数列{Sn}是等比数列，公比q==4，首项为1．∴．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3×4n﹣2，又a1=S1=1，∴an=．（2）解：当n≥2时，bn===，又．∴，则，当n≥2时，bn=，则，n=1时也成立．综上：．21. 如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）根据OA=OD，得到∠ODA=∠OAD，结合AD是∠BAC的平分线，得到∠OAD=∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE．再根据DE⊥AE，得到DE⊥OD，结合圆的切线的判定定理，得到DE是⊙O的切线．（Ⅱ）连接OD，BC，设AC=2k，AB=5k，可证OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=k，然后通过OD∥AE，利用相似比即可求出的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD∵∠BAC的平分线是AD∴∠OAD=∠DAC∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；  …5分（Ⅱ）解：连接OD，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，又OD∥AE，∴∠OGB=∠ACB=90°，∴OD⊥BC，∴G为BC的中点，即BG=CG，又∵=，∴设AC=2k，AB=5k，根据中位线定理得OG=k，∴DG=OD﹣OG=k，又四边形CEDG为矩形，∴CE=DG=k，∴AE=AC+CE=k，而OD∥AE，∴可得…10分22. 求证：对任意的有成立．参考答案：    用数学归纳法证明：  ①当时，不等式成立；②假设当（，）时，不等式成立，即，那么当时     ＝∴当时，不等式成立。

由①②知对任意的,不等式成立． 略。