初三数学圆与圆知识精讲 试题.doc

初三数学圆与圆知识精讲 知识考点：1、掌握圆与圆的五种位置关系与两圆的半径、圆心距之间的关系，掌握圆与圆的位置关系的三种判定方法2、掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，相切两圆的连心线必过切点等性质3、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）4、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题精典例题：【例1】 已知⊙O1与⊙O2的半径长分别为方程的两根，若圆心距O1O2的长为5，则⊙O1与⊙O2的位置关系如何？分析：由方程可解得，，故与圆心距相等，则两圆内切解：设⊙O1、⊙O2的半径分别为、（≥） 由由方程有， ∴， 又∵ ∴两圆的位置关系为内切变式：若方程变为，则两圆的位置关系如何？分析：显然此方程的两根不易直接求出，用求根公式又麻烦了，考虑到要判断两圆的位置关系，只须将两圆半径的和、差与圆心距比较即可，我们可以用韦达定理，设两圆的半径分别为、（≥），则，∴而O1O2＝5＜，∴两圆的位置关系为内含例2】 如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AB过P点分别交⊙O1和⊙O2于A、B两点，BD切⊙O2于点B，交⊙O1于C、D两点，延长CP交⊙O2于Q。

1）求证：；（2）设⊙O2的半径为，⊙O1的半径为，若BP＝2，AD＝，求的值；（3）若AP∶PB＝3∶2，且C为BD的中点，求AD∶BC的值分析：此题要求的结论很多，只有采取“各个击破”的策略，抓住两圆外切的关键是过切点作两圆的公切线，它可以沟通两圆的弦切角、圆周角之间的关系1）证明：先证∠APD＝∠BPC，又∠BCP＝∠DAP ∴△CPB∽△APD，∴，即∵BC切⊙O2于O2，∴∴（2）解：连结O1 O2、O1 A、O2 B，则O1 O2过P点证△AO1P∽△BO2P，∴，再证，∴，，解得AP＝6∴（3）解：∵C为BD的中点，∴BC＝DC，∴∵AP∶PB＝3∶2，∴∶＝3∶2，∴∶＝3∶1∵△DAP∽△BCP，，∴例3】如图，⊙O1与⊙O2外切于P，AB是两圆的外公切线，切点为A、B，我们称△PAB为切点三角形，切点三角形具有许多性质，现总结如下：（1）△PAB是直角三角形，并且∠APB＝900；（2）△PAB的外接圆与连心线O1O2相切；（3）以O1O2为直径的圆与Rt△PAB的斜边AB相切；（4）斜边AB是两圆直径的比例中项；（5）若⊙O1、⊙O2的半径为、，则PA∶PB∶AB＝∶∶；（6）内公切线PC平分斜边AB；（7）△CO1O2为直角三角形。

这些结论虽然在证题时仍需证明，但有了这些基本结论作基础，可帮助你迅速找到解题思路，可以提高解题速度，下面用一个具体的例子来说明 如图2，⊙A和⊙B外切于P，CD为两圆的外公切线，C、D分别为切点，PT为内公切线，PT与CD相交于点T，延长CP、DP分别与两圆相交于点E、F，又⊙A的半径为9，⊙B的半径为41）求PT的长；（2）求证：；（3）试在图中找出是线段PA和PB比例中项的线段，并加以证明分析：图中的基本图形是切点三角形，易证T为CD的中点，∠CPD＝900，PT即为外公切线长的一半，CF、DE分别为两圆直径，且互相平行，问题就解决了略解；（1）作BG⊥AC于G，则CD＝BG＝∴PT＝CT＝TD＝CD＝6证明（2）PT＝CD，∴∠CPD＝900∴CF、DE分别是⊙A和⊙B的直径 又∵CD切两圆于C、D，∴FC⊥CD，ED⊥CD∴CF∥DE，∴，∴（3）图中是PA和PB比例中项的线段有PT、CT、DT（证明略）探索与创新：【问题】如图1，已知⊙O和⊙都经过点A和B，直线PQ切⊙O于点P，交⊙于点Q、M，交AB的延长线于点N1）求证：； （2）若M是PQ的中点，设MQ＝，MN＝，求证：；（3）若⊙不动，把⊙O向右或向左平移，分别得到图2、图3、图4，请你判断（直接写出判断结论，不需证明）：①（1）题结论是否仍然成立；②在图2中，（2）题结论是否仍然成立？在图3、图4中，若将（2）题条件改为：M是PN的中点，设MQ＝，MN＝，则的结论是否仍然成立？解：（1），又，∴ （2）∵PM＝MQ＝，MN＝， ∴，整理得，∵，∴ （3）在图2、图3、图4中（1）题结论都成立，在图2中（2）题结论成立；在图3、图4中，按题意改变条件后，的结论仍然成立。

理由是：PM＝MN＝，MQ＝，依①的结论有：，化简得 跟踪训练：一、选择题：1、已知两圆的半径分别为3与5，圆心距为，且，，则两圆的公切线共有（ ） A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 2、两圆的半径分别为、，圆心距为，若关于的方程 ＝0有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（ ） A、一定内切 B、一定外切 C、相交 D、内切或外切3、已知两圆的半径分别为、，圆心距为，且，则两圆的位置关系是（ ） A、相交 B、内切 C、外离 D、外切或内切4、若⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别为2和，公共弦为2，则∠O1AO2的度数是（ ） A、1050 B、750或150 C、1050或150 D、1505、已知两个同心圆的半径分别为和，其中，则和两个同心圆都相切的圆的半径为（ ） A、 B、 C、或 D、6、如图，⊙O1与⊙O2内切于点P，⊙O2弦AB经过⊙O1的圆心O1，交⊙O1于点C、D，若AC∶CD∶DB＝3∶4∶2，则⊙O1与⊙O2的直径之比为（ ） A、2∶7 B、2∶5 C、1∶4 D、1∶37、如果两圆的半径分别为、，外公切线长为，那么这两个圆（ ） A、相交 B、外切 C、外离 D、外切或外离8、两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，大圆的半径是，小圆的半径是，则等于（ ） A、 B、 C、2 D、9、已知⊙O1和⊙O2外切于点P，过点P的直线AB分别交⊙O1、⊙O2于A、B。

已知⊙O1和⊙O2的面积比为3∶1，则AP∶PB＝（ ） A、3∶1 B、6∶1 C、9∶1 D、∶110、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，外公切线BC与⊙O1、⊙O2分别切于B、C，与连心线O1O2交于P，若∠BPO1＝300，则⊙O1和⊙O2的半径之比为（ ） A、1∶2 B、3∶1 C、2∶3 D、3∶4二、填空题：1、已知⊙O1和⊙O2的半径分别是3 cm和4cm，若两圆不相交，则O1O2满足 2、△ABC的三边长为7、8、9，以顶点A、B、C为圆心的圆两两外切，则其中最大圆的半径为 3、如图，⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O1经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O1于点D，EF为过点A的公切线，若O2D＝，则∠BAF＝ 4、已知A（3，0）、B（－1，0），分别以A、B为圆心的两圆相交于M（，），N（1，），则＝ 5、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，直线A O1交⊙O1于C，交⊙O2于D，CB的延长线交⊙O2于E，连结DE，若CD＝10，DE＝6，则O1 O2＝ 。

6、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O1在⊙O2上，过A作⊙O1的切线AC交BO1的延长线于点P，交⊙O2于点C，BP交⊙O1于点D若PD＝1，PA＝，则AC的长为 三、计算或证明题：1、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P为⊙O2上一点，PA交⊙O1于C，PB的延长线交⊙O1于D，过D、C的直线交⊙O2于E、F求证：PE＝PF 2、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P为⊙O1上一点，PB的延长线交⊙O2于C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O1于点N1）过点A作AE∥CN交⊙O1于点E，求证PA＝PE；（2）连结PN，若PB＝4，BC＝2，求PN的长3、如图，已知⊙O与⊙相交于A、B两点，点O在⊙上，⊙的弦OC交AB于点D1）求证：； （2）如果AC＋BC＝OC，⊙O的半径为，求证：AB＝ 4、已知点A在⊙O上，⊙A与⊙O相交于B、C两点，⊙A的弦BD与⊙O相交于E1）如图1，判定△CED的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当BD经过O时，若⊙A的半径为6，CE＝1，求⊙O的半径参考答案一、选择题：BDDCCD DBDB二、填空题：1、0≤≤1或≥7；2、5；3、67.50；4、16；5、；6、；三、计算或证明题：1、提示：连结AB、AE，证∠PEF＝∠F；2、（1）连结AB；（2）连结AN、PN，证△PBN∽△PNC得；PN＝；3、（1）连结OB；（2）由△AOC∽△DOA得，同理以上两式相加即可得证。

4、（1）等腰三角形，证明略；（2）⊙O的半径为4。