初三数学圆和圆的位置关系知识精讲 首师大版 试题.doc

初三数学圆和圆的位置关系知识精讲一. 本周教学内容： 圆和圆的位置关系 掌握与两圆位置关系有关的解题方法由于两圆的位置关系所涉及的知识中，直接可利用的知识太少，因此也就形成了独特的解题方法，即把两个圆的问题转化为一个圆的方法这就要求我们能够依据不同的位置关系，形成不同的转化方法［知识要点］ 1. 圆与圆的位置关系及相关的数量关系 （1）外离：圆心距大于两圆半径之和，即d＞R＋r，内公切线2条，外公切线2条 （2）外切：d＝R＋r，内公切线1条，外公切线2条 （3）相交：R－r＜d＜R＋r（R≥r），内公切线0条，外公切线2条 （4）内切：d＝R－r（R＞r），内公切线0条，外公切线1条 （5）内含：d＜R－r（R＞r），内公切线0条，外公切线0条 2. 连心线是指通过两圆圆心的一条直线，圆心距是指连心线上两圆心之间线段的长度 3. 若两圆相切（内、外切），则切点一定在连心线上 4. 相交两圆的连心线，垂直平分公共弦 5. 两圆若有两条外公切线，或内公切线，则这两条外公切线或内公切线的长相等，且两条公切线的交点在连心线上 6. 若两圆相外切，则它们的连心线与内公切线互相垂直。

二. 重点、难点： 1. 重点是两圆的位置关系与圆心距及两圆的半径的数量关系，还有两圆的公切线 2. 难点是上述知识的灵活运用 注意：这部分知识中解题需做辅助线时，一般有如下规律：一是遇到两圆相交时做公共弦，二是遇到两圆相切时做公切线 例1. 如图1所示，半径为R的⊙O与半径为r的⊙O1外切于点P（P＞r），直线AB为两圆的外公切线，切点为A、B 求证：AB是两圆直径的比例中项 证明：如图，连结OO1、OA、O1B，作O1C⊥OA于C ∵AB为⊙O与⊙O1的公切线 ∴OA⊥AB，O1B⊥AB 又∵O1C⊥OA，∴四边形ABO1C为矩形 ∵2R为⊙O直径，2r为⊙O1直径，且O1C＝AB ∴AB为两圆直径的比例中项 例2. 已知⊙O1与⊙O2相交于B、C两点，A是⊙O1上一点，AF切⊙O1于点A，延长AB、AC交⊙O2于D、E两点 求证：AF//DE 分析：两圆相交一般先作出公共弦，通过公共弦就能把两个圆联系起来，要证AF//DE，就要找相等的角，即∠FAD＝∠ADE，通过弦切角和圆内接四边形的性质，借助于∠ACB为过渡的角就能推出∠FAD＝∠ADE。

证明：连结BC，∵AF为⊙O1的切线，∴∠FAD＝∠ACB ∵四边形BCED为⊙O2的内接四边形，∴∠ACB＝∠D ∴∠FAD＝∠D ∴AF∥DE 例3. 如图3，⊙O与⊙O外离，AB、CD是内公切线，OO是圆心距，若⊙O半径为4，⊙O半径为6，OO＝20，求两条内公切线所夹锐角及内公切线的长 解：连结OA、OB，且过O点作OE⊥OB交延长线于E点 ∵AB是内公切线，∴OA⊥AB，OB⊥AB ∴四边形AOEB是矩形 小结：此题涉及到矩形、勾股定理等知识，还有内公切线长相等的概念 例4. 如图4，⊙O与⊙O内切于P，⊙O的弦AB切⊙O于C 求证：PC平分∠APB 证明：过P点作两圆的公切线MN 例5. 如图5，⊙O与⊙O交于A、B点，AC是⊙O的直径，连结CB并延长交⊙O于E若AC＝12，BE＝30，BC＝AD求DE的长及∠C的度数 分析：此题涉及到相交两圆的概念、相似三角形、勾股定理等知识；因为求解是数量问题，需借助相关的知识转化为方程，提供转化的工具是相似比和勾股定理。

解：连结AB ∵A、B、E、D四点共圆，∴∠ABC＝∠D ［知识小结］ 当我们研究的命题涉及到两个相交圆的角的关系时，为了沟通关系往往需要添加公共弦 当两圆相切时，研究的问题与角相关，往往需要构造弦切角，添加过切点的切线 如果求解的是数量问题，需要借助相关的知识转化为方程，提供转化工具的可以是相似比及勾股定理、射影定理等［开阔思路］ 在模拟测试二中，解答题的第4小题还有两种证明方法： 证法一：连结OF交⊙C于N，连结OE ∵⊙C与⊙O内切于F，∴O、C、F共线 ∴FN＝2CD ∵⊙C切AB于D，∴CD⊥AB ∴OD2＝ONOF 证法二：连结OF，∵⊙C与⊙O相切，∴O、C、F共线 ∵⊙C切AB于D，∴CD⊥AB ［试题一］一. 选择题（每题6分，共30分） 1. 相内含的两圆的圆心距为2 cm，可作两圆半径的是（ ） A. 4cm和1cm B. 5cm和3cm C. 6cm和5cm D. 4cm和2cm 2. 已知⊙O1和⊙O2外切于M，AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，A、B为切点，若，则M到AB的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 半径都是R的⊙O1和⊙O2的圆心距，则半径为2R，且与⊙O1和⊙O2都相切的圆共有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 4. 下列说法正确的是（ ） A. 过相外切两圆切点的直线是内公切线 B. 过内切两圆切点的直线是外公切线 C. 两圆相交时有两条外公切线 D. 两圆外切时有两条内公切线 5. 若两圆的半径分别为5和9，圆心距为3，那么这两圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相切 C. 相交 D. 内含二. 填空题（每题6分，共30分） 1. 如果两圆有两条内公切线，那么它们的交点一定在____________。

2. 两圆的一条外公切线与连心线成角，它们的圆心距为8 cm，则外公切线长为___________ 3. 已知外切两圆半径的比为3：1，若一条外公切线长为4cm，则两圆半径分别为___________ 4. 若两圆相外切，半径分别为6cm和2cm，则两圆的外公切线与连心线所夹锐角为___________ 5. 若两圆的半径是4cm、6cm，其圆心距为20cm，则它们两条内公切线所成的角是___________三. 解答题（每题10分，共40分） 1. 如图6，⊙O与⊙交于M、N点，P是AMB的中点，过P、N点作直线交两圆于C、D点 求证：PC＝PD 2. 如图7，两圆内切于M点，大圆弦AB切小圆于N点，AM交小圆于C，BM交小圆于D 求证：MN是∠AMB的平分线 3. 如图8，⊙O与⊙A交于M、N点，且A点在⊙O上，弦MC交⊙O于D点，连结AD、NC 求证：DA⊥NC 4. 如图9，已知同心圆的圆心为O，PA切大圆于A，PC切小圆于B，交大圆于C、D，若PA＝12，OP＝15，PC＝18，求两圆半径［试题二］一. 选择题（每题6分，共30分） 1. 若半径分别为10cm和8cm的两圆相交，公共弦是12cm，且两圆的圆心在公共弦两侧，则圆心距为（ ） A. B. C. D. 2. 已知两圆的半径分别为6cm和3cm，圆心距为10cm，则两圆公切线的条数为（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 3. 两圆的半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距是4cm，当两圆外切时，圆心距为（ ） A. 20cm B. 14cm C. 11cm D. 5cm 4. 在中，，点O在AB上，以O点为圆心作圆分别与BC、AC相切于D、E两点，则⊙O的半径长为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆的外切四边形ABCD的面积为20cm2，AD边与BC边的和为10cm，则该圆的半径长为（ ） A. 4cm B. 2cm C. 1cm D. 以上都不对二. 填空题（每题6分，共30分） 1. 已知两圆相外切，两条外公切线互相垂直，其中一个圆的半径为5cm，则另一个圆的半径为_________cm，外公切线长为__________cm。

2. 已知，的三边切⊙O于D、E、F，若，则∠A＝__________（AB交⊙O于F，BC交⊙O于D，AC交⊙O于E） 3. 已知的三边AB、BC、CA分别切⊙O于D、E、F三点，而且AB＝7cm，AC＝5cm，AD＝2cm，则BC＝__________ 4. 一条弦分圆周为2:3两部分，过这条弦的一个端点引圆的切线，则所形成的两个弦切角的度数为____________ 5. 已知圆内两弦AB、CD相交于点E，CE＝4cm，DE＝9cm，E是AB中点，OE＝8cm，则⊙O的直径是____________三. 解答题（每题10分，共40分） 1. 已知，如图10，在直角梯形ABCD中，，以AB为直径的半圆切另一腰CD于P，若，梯形ABCD的面积为，求BC、CD、DA的长 2. 已知，如图11，AB为半圆直径，PA⊥AB，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D交PB于M 求证：CM＝DM 3. 如图12，两圆外切于P，直线交两圆于A、B、C、D 求证： 4. 如图13，AB是⊙O的直径，⊙C切⊙O于F，切AB于D，DC交⊙O于E点 求证：[参考答案]［试题一］一. 选择题。

1. C 2. A 3. B 4. C 5. D二. 填空题 1. 两圆连心线上 2. 4 cm 3. 和 4. 30 5. 60三. 解答题 1. 提示：连结MN、AC、BD，可由，证明 2. 提示：可作两圆的外公切线PQ，并连结NC，利用弦切角沟通关系 3. 略证：作过N点的⊙A的直径NE，连结ME、MN， ∵NE是直径，∴ ∵M、N、A、D四点共圆，∴ 4. 提示：连结OA和OB，构造直角三角形［试题二］一. 选择题 1. B 2. C 3. A 4. A 5. B二. 填空题 1. 或，或 2. 60 3. 8 cm 4. 5. 20 cm三. 解答题 1. 提示：根据，求出AD＋BC＝15 根据切线长定理，，过C点作CE⊥AD于E 在中， 由勾股定理求出DE＝9 设CB＝x，则AE＝x 因为AD＋BC＝CD＝15，即，求出 所以 2. 。