《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(点+解题训练)数列的概念与简单表示法(含解析).pdf

Go the distance 第一节 数列的概念与简单表示法 [知识能否忆起 ] 1． 数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义 ： ① 数列 ： 按照 一定顺序 排列的一列数 ． ② 数列的项 ： 数列中的 每一个数 ． (2)数列的分类 ： 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数 有限 无穷数列 项数 无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋ 1>an 其中 n∈ N* 递减数列 an＋ 10. 4． (教材习题改编 )已知数列 {an}的通项公式是 an＝ 2·3n－ 1n为偶数 ，2n－ 5n为奇数 ， 则 a4·a3＝________. 解析 ： a4·a3＝ 2× 33·(2× 3－ 5)＝ 54. 答案： 54 5． 已知数列 {an}的通项公式为 an＝ pn＋ qn， 且 a2＝ 32， a4＝ 32， 则 a8＝ ________. 解析： 由已知得 2p＋ q2＝ 32，4p＋ q4＝ 32，解得 p＝ 14，q＝ 2.则 an＝ 14n＋ 2n，故 a8＝ 94. 答案： 94 1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定 “ 顺序 ” 排列的一列数，一个数列不仅与构成它的 “ 数 ” 有关，而且还与这些 “ 数 ” 的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性 ． 因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列 ． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别 ． 2． 数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集 {1,2,3， … ， n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即 f(n)＝ an(n∈ N*)． Go the distance 由数列的前几项求数列的通项公式 典题导入 [例 1] (2012·天津南开中学月考 )下列公式可作为数列 {an}： 1,2,1,2,1,2， … 的通项公式的是 ( ) A． an＝ 1 B． an＝ － 1n＋ 12 C． an＝ 2－  sinnπ2 D． an＝ － 1n－ 1＋ 32 [自主解答 ] 由 an＝ 2－  sinnπ2 可得 a1＝ 1， a2＝ 2， a3＝ 1， a4＝ 2， … . [答案 ] C 若本例中数列变为 ： 0,1,0,1， … ， 则 {an}的一个通项公式为 ________． 答案 ： an＝ 0n为奇数 ，1n为偶 数 . 或 an＝1＋ － 1n2 或 an＝1＋ cos nπ2 由题悟法 1． 根据数列的前几项求它的一个通项公式 ， 要注意观察每一项的特点 ， 观察出项与 n之间的关系 、 规律 ， 可使用添项 、 通分 、 分割等办法 ， 转化为一些常见数列的通项公式来求 ． 对于正负符号变化 ， 可用 (－ 1)n或 (－ 1)n＋ 1来调整 ． 2． 根据数列的前几项写出 数列的一个通项公式是不完全归纳法 ， 它蕴含着 “ 从特殊到一般 ” 的思想 ． 以题试法 1． 写出下面数列的一个通项公式 ． (1)3,5,7,9， … ； (2)12， 34， 78， 1516， 3132， … ； (3)3,33,333,3 333， … ； Go the distance (4)－ 1， 32，－ 13， 34，－ 15， 36， … . 解： (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝ 2n＋ 1. (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24， … ，所以 an＝ 2n－ 12n . (3)将数列各项改写为 93， 993 ， 9993 ， 99993 ， … ，分母都是 3，而分子分别是 10－ 1,102－1,103－ 1,104－ 1， … . 所以 an＝ 13(10n－ 1)． (4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号 为 (－ 1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4， … ；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2－ 1，偶数项为 2＋ 1， 所以 an＝ (－ 1)n·2＋ － 1nn ，也可写为 an＝ － 1n， n为正奇数，3n， n为正偶数 .由 an与 Sn的关系求通项 an 典题导入 [例 2] 已知数列 {an}的前 n 项和 Sn， 根据下列条件分别求它们的通项 an. (1)Sn＝ 2n2＋ 3n； (2)Sn＝ 3n＋ 1. [自主解答 ] (1)由题可知，当 n＝ 1 时， a1＝ S1＝ 2× 12＋ 3× 1＝ 5， 当 n≥ 2 时， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ (2n2＋ 3n)－ [2(n－ 1)2＋ 3(n－ 1)]＝ 4n＋ 1. 当 n＝ 1 时， 4× 1＋ 1＝ 5＝ a1，故 an＝ 4n＋ 1. (2)当 n＝ 1 时， a1＝ S1＝ 3＋ 1＝ 4， 当 n≥ 2 时， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ (3n＋ 1)－ (3n－ 1＋ 1)＝ 2× 3n－ 1. 当 n＝ 1 时， 2× 31－ 1＝ 2≠ a1， 故 an＝ 4， n＝ 1，2× 3n－ 1， n≥ 2. 由题悟法 已知数列 {an}的前 n 项和 Sn， 求数列的通项公式 ， 其求解过程分为三步 ： (1)先利用 a1＝ S1求出 a1； Go the distance (2)用 n－ 1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系 ， 利用 an＝ Sn－ Sn－ 1(n≥ 2)便可求出当 n≥ 2时 an的表达式 ； (3)对 n＝ 1 时的结果进行检验 ， 看是否符合 n≥ 2 时 an的表达式 ， 如果符合 ， 则可以把数列的通项公式合写 ； 如果不符合 ， 则应该分 n＝ 1 与 n≥ 2 两段来写 ． 以题试法 2． (2012·聊城模拟 )已知数列 {an}的前 n 项和为 Sn， 且 Sn＝ nn＋ 1， 则 1a5＝ ( ) A.56 B.65 C. 130 D． 30 解析： 选 D 当 n≥ 2 时， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ nn＋ 1－ n－ 1n ＝ 1nn＋ 1，则 a5＝ 15× 6＝ 130. 数列的性质 典题导入 [例 3] 已知数列 {an}的通项公式为 an＝ n2－ 21n＋ 20. (1)n 为何值时 ， an有最小值 ？ 并求出最小值 ； (2)n 为何值时 ， 该数列的前 n 项和最小 ？ [自主解答 ] (1)因为 an＝ n2－ 21n＋ 20＝  n－ 212 2－ 3614 ，可知对称轴方程为 n＝ 212 ＝ 10.5.又因 n∈ N*，故 n＝ 10 或 n＝ 11 时， an有最小值，其最小值为 112－ 21× 11＋ 20＝－ 90. (2)设数列的前 n 项和最小，则有 an≤ 0，由 n2－ 21n＋ 20≤ 0，解得 1≤ n≤ 20，故数列{an}从第 21 项开始为正数，所以该数列的前 19 或 20 项和最小 ． 在本例条件下 ， 设 bn＝ ann， 则 n 为何值时 ， bn取得最小值 ？ 并求出最小值 ． 解： bn＝ ann＝ n2－ 21n＋ 20n ＝ n＋20n － 21， 令 f(x)＝ x＋ 20x － 21(x>0)，则 f′ (x)＝ 1－ 20x2，由 f′ (x)＝ 0解得 x＝ 2 5或 x＝－ 2 5(舍 )． 而40， 则Sm最小 ， 这样 便可直接利用各项的符号确定最值 . 以题试法 3． (2012·江西七校联考 )数列 {an}的通项 an＝ nn2＋ 90， 则数列 {an}中的最大值是 ( ) A． 3 10 B． 19 C. 119 D. 1060 解析： 选 C an＝ 1n＋ 90n， 由基本不等式得 ， 1n＋ 90n≤ 12 90， 由于 n∈ N*， 易知当 n＝ 9或 10 时 ， an＝ 119最大 ． 1． 已知数列 {an}的前 n 项和为 Sn， 且 Sn＝ 2(an－ 1)， 则 a2等于 ( ) A． 4 B． 2 C． 1 D．－ 2 解析： 选 A 由题可知 Sn＝ 2(an－ 1)， 所以 S1＝ a1＝ 2(a1－ 1)，解得 a1＝ 2. 又 S2＝ a1＋ a2＝ 2(a2－ 1)，解得 a2＝ a1＋ 2＝ 4. 2． 按数 列的排列规律猜想数列 23，－ 45， 67，－ 89， … 的第 10 项是 ( ) A．－ 1617 B．－ 1819 C．－ 2021 D．－ 2223 Go the distance 解析： 选 C 所给数列呈现分数形式 ， 且正负相间 ， 求通项公式时 ， 我们可以把每一部分进行分解 ： 符号 、 分母 、 分子 ． 很容易归纳出数列 {an}的通项公式 ， an＝ (－ 1)n＋ 1 2n2n＋ 1，故 a10＝－ 2021. 3． 数列 {an}的前 n 项积为 n2， 那么当 n≥ 2 时 ， an＝ ( ) A． 2n－ 1 B． n2 C.n＋ 12n2 D.n2n－ 12 解析： 选 D 设数列 {an}的前 n 项积为 Tn， 则 Tn＝ n2， 当 n≥ 2 时 ， an＝ TnTn－ 1＝ n2n－ 12. 4． 已知数列 {an}满足 a1>0， an＋ 1an＝ 12， 则数列 {an}是 ( ) A． 递增数列 B． 递减数列 C． 常数列 D． 不确定 解析： 选 B ∵ an＋ 1an＝ 120，则 an>0， ∴ an＋ 10，解得 n>6 或 n<1(舍 )． 故从第 7 项起各项都是正数 ． 11． 已知数列 {an}的前 n 项和 Sn＝ 2n2＋ 2n， 数列 {bn}的前 n 项和 Tn＝ 2－ bn.求数列 {an}与 {bn}的通项公式 ． Go the distance 解： ∵ 当 n≥ 2 时， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ (2n2＋ 2n)－ [2(n－ 1)2＋ 2(n－ 1)]＝ 4n， 当 n＝ 1 时， a1＝ S1＝ 4 也适合， ∴ {an}的通项公式是 an＝ 4n(n∈ N*)． ∵ Tn＝ 2－ bn， ∴ 当 n＝ 1 时， b1＝ 2－ b1， b1＝ 1. 当 n≥ 2 时， bn＝ Tn－ Tn－ 1＝ (2－ bn)－ (2－ bn－ 1)， ∴ 2bn＝ bn－ 1. ∴ 数列 {bn}是公比为 12，首项为 1 的等比数列 ． ∴ bn＝  12 n－ 1. 12． (2012·福州质。