《风险理论与计算程序》课件—07应用.ppt

集体风险模型应用四、理赔次数的复合分布n问题：一次损失事故的发生可能会导致多份保单同时发生索赔，如何求索赔次数的分布n设N表示保单组合在单位时间内发生事故的次数，N的分布为fN(n)，母函数为PN(z)Mi表示在第次事故中引发理赔的保单数，Mi为独立同分布的随机变量，且与事故次数N独立，Mi分布为fM(x)，母函数为PM(z)则在单位时间内保单组合总共发生的理赔次数为其中S的母函数为例例1：设从城市A到城市B的某航线每个月有70个航班，假设每个航班有的可能性取消，假设每次飞行有的概率出事进一步假设每趟飞机有200个座位，每次飞行有的就座率和6个机组人员，假设出事飞机上的每个人都死亡，并且都买了保险求每个月此航线的索赔次数的期望和方差解解：令S表示下个月此航线的索赔次数N表示下个月出行的航班数P表示飞机上的人员数，M表示乘客数那么，P的均值和方差分别为令K表示出行中发生事故的航班数，则令S表示下个月发生事故死亡的人员数，免赔额对理赔次数的影响免赔额对理赔次数的影响注意：当免赔额存在时，理赔次数不等于损失次数1、免赔额存在时X以表示损失，NL表示损失次数，d表示免赔额，v=P(Xd)，NP表示理赔次数。

令则由于由复合分布的母函数公式例例2：设N服从二项式分布B(n,q)，求NP的分布解解：N的母函数为由公式因此，NP服从二项分布B(n,vq)例例3：N服从负二项分布NB（r,q），求NP的分布解：解：N的母函数为 由复合分布的母函数公式因此，N服从负二项分布NB(r,q*)，练习练习：设某险种的实际损失额有几种可能：25，50，100，200，500，发生的概率分别为0.2，0.3, 0.2, 0.15, 0.1,0.05假设损失事件的次数服从参数为q=0.4, r=5的负二项分布，免赔额为50，求理赔次数至少为1次的概率答案为0.4816命题命题1：假设N的母函数，其中B(.)是与参数无关的函数，则N和NP的分布类型没有变化证明：注：所有的分布都保持原来的类型2、免赔额发生变化时n原来的免赔额为d，现在免赔额调整为d*，请问调整后新理赔次数发生了什么变化?n记Nd表示免赔额为d的理赔次数，Nd*表示理赔额为的理赔次数，设v表示在免赔额提高后，以前的索赔事件能够继续获得赔偿的比例，则n令I=1表示继续获得赔偿，I=0表示不能继续获得赔偿n当d*d时，v1，当Nd为（a, b, 0）分布时，Nd*的分布类型与Nd相同，只是参数发生变化。

n当d*1，此时的参数可能超出原频率分布的参数范围，因此我们不能考虑这种情形三、限额损失再保险三、限额损失再保险n再保险（reinsureance），也称分保，是保险公司在保险合同的基础上通过签订分保合同，转嫁所承担的风险和责任的方式，通俗的说，就是对保险人的保险 常见的再保险形式：常见的再保险形式：1：比例再保险：比例再保险原保险人按约定的比例，将每一个风险单位的保险金额向再保险人分保其数学模型为2停止损失再保险：（Stop loss treaties）以原保险人一段时间内（一般为一年）的总损失为基础，且合约中规定了自留额和赔偿限额若不考虑限额，其数学模型为n再保险公司的赔付额的期望称为停停止止损损失失净净保保费费下面我们来计算停止损失净保费停止损失净保费E(Id)n基本公式n当理赔S仅取非负整数值并且d也是整数时，有 例例4：设其中理赔次数个别理赔额变量计算E(I7)解：解：因为N的最大值为3，S的最大值为9，所以用公式计算得因此，有n几种特殊情况下E(Id)的计算公式1、设 ，则对d(a,b)有2、当理赔S只取值于某个货币单位h的整数倍时，即对于djh，则n在第2种情形中，对于任意d，都可递推计算出E(Id)n首先递推计算出E(Id)，djhn对于jhd(j+1)h,利用公式计算例例5 5：设理赔次数N服从几何分布，个别理赔额恒等于40，S表示聚合理赔额，求E(I100)解解：对于均值为4的几何分布，可知p0.2,由于个别理赔额恒等于40,由递推公式得例例6：某保险公司每年的理赔次数服从均值为2的泊松分布，个别理赔额为1，2，3，4，其概率都为0.25，理赔额互相独立，且和理赔次数也独立。

公司对年总理赔购买了限额损失再保险，对年总理赔的免赔额为3，计算保单期望赔付额解解：根据理赔额的分布得由N的分布得利用计算得因此，团体保险的红利模型n保险业务中，尤其是团体保险业务中，常常会设置某种对投保人的红利政策，以使投保人能够分享公司的部分经营成果，同时鼓励投保人自我防范风险、减少可以避免的损失下面考虑对实际赔付S低于定价假设的部分进行分红的方法，基本的做法是以所收取的保费G为基础，按照一定的份额设定一个额度，如果最后所发生的理赔低于这个额度，则把这部分差额作为红利返还给投保人，记此返还额为D，故红利分配模型为：设S的分布函数为FS(x)，密度函数为fS(x)，有容易验证，两边取期望得故例例7：某保单组的保费G等于2，理赔总额的分布函数为保险人的红利支付函数为已知，则k等于（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5E.1/6解解：根据D的表达式由于，因此解得。