复变函数与积分变换：8.2 单位冲激函数.ppt

1第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 8.2 单位冲激函数 二、单位冲激函数的概念及性质 三、单位冲激函数的 Fourier 变换 一、为什么要引入单位冲激函数 四、周期函数的 Fourier 变换 2第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 一、为什么要引入单位冲激函数 理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换 (2) 周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的 Fourier 变 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否 统一起来 (3) 在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常 的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的 质量等等 3第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 一、为什么要引入单位冲激函数 细杆取 的结果 长度为 a ，质量为 m 的均匀细杆放在 x 轴的 0 , a 区间 引例 上，则它的线密度函数为 质量为 m 的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于 显然 , 该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息 , 相应地，质点的密度函数为 P191 例 8.5 4第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 二、单位冲激函数的概念及性质 1. 单位冲激函数的概念 (1) 当 时， (2) 显然，借助单位冲激函数，前面引例中质点的密度函数 定义 单位冲激函数 满足： 单位冲激函数 又称为 Dirac 函数或者 函数。

就可表示为 P192 5第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 二、单位冲激函数的概念及性质 1. 单位冲激函数的概念 (1) 单位冲激函数 并不是经典意义下的函数，而是一 个广义函数(或者奇异函数)，它不能用通常意义下的 “值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质 注 来使用它 (2) 单位冲激函数有多种定义方式，前面给出的定义方式 是由 Dirac(狄拉克)给出的 单位冲激函数其它定义方式6第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 二、单位冲激函数的概念及性质 2. 单位冲激函数的性质 (2) 对称性质 函数为偶函数，即 (1) 筛选性质 性质 设函数 是定义在 上的有界函数， 且在 处连续， 则 一般地，若 在 点连续， 则 P192性质 8.1 P193性质 8.2 7第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点 出发长度为 1 的有向线段来表示， 同样有，函数 的冲激强度为 A 代表 函数的积分值， 称为冲激强度 二、单位冲激函数的概念及性质 3. 单位冲激函数的图形表示 t 1 t 1 t A 其中有向线段的长度 8第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 三、单位冲激函数的 Fourier 变换 由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有 利用筛选性质，可得出 函数的 Fourier 变换： 即 与 1 构成Fourier变换对 相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。

t 1 w 1 P194 9第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 重要公式 称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换 在 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 函数的 注 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 三、单位冲激函数的 Fourier 变换 按照 Fourier 逆变换公式有 10第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 解 (1) (2) 将等式 的两边对 求导，有 即得 P194 例8.7 修改 11第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 它是工程技术中最常用的函数之一 解 已知 又 1 + 得 称 为单位阶跃函数，也称为 Heaviside 函数， 注 P194 例8.8 修改 12第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 解 (1) (2) 由 ， 有 + w P194 例8.7 部分 P195 例8.9 13第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 四、周期函数的 Fourier 变换 定理 设 以 T 为周期，在 上满足 Dirichlet 条件， 则 的 Fourier 变换为其中， 是 的离散频谱由 有 证明 P195定理 8.3 14第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 休息一下15第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 附： 单位冲激函数的其它定义方式 方式一 令 则 t 方式二 (20 世纪 50 年代，Schwarz) 单位冲激函数 满足 其中， 称为检验函数。