第五章极限定理.ppt

第五章第五章 极限定理极限定理第第5.1节节 伯努利试验场合的极限定理伯努利试验场合的极限定理第第5.2节节 收敛性收敛性第第5.3节节 独立同分布场合的极限定理独立同分布场合的极限定理第第5.4节节 强大数定律强大数定律＊＊第第5.5节节 中心极限定理中心极限定理＊＊第第5.15.1节节 伯努利试验场合的极限定理伯努利试验场合的极限定理 一、问题的提出一、问题的提出二、伯努利大数定理二、伯努利大数定理三、棣莫弗三、棣莫弗-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理四、棣莫弗四、棣莫弗-拉普拉斯极限定理的拉普拉斯极限定理的 一些应用一些应用一、问题的提出一、问题的提出1、频率与概率、频率与概率 由概率的统计性定义可知：概率是频率的稳定值由概率的统计性定义可知：概率是频率的稳定值也就是当独立重复试验次数增加时，其频率会呈现出也就是当独立重复试验次数增加时，其频率会呈现出某种稳定性，这种稳定性体现了概率的本质特征某种稳定性，这种稳定性体现了概率的本质特征.如如何在理论上给出这种稳定性的证明呢？何在理论上给出这种稳定性的证明呢？ 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象量随机现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种很广泛，其中最重要的有两种:与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 2 2、大数定律的引入、大数定律的引入大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率…… 对于对于n重伯努利试验而言，事件出现的次数服从二重伯努利试验而言，事件出现的次数服从二项分布，即项分布，即而频率具有随机性（即波动性），其期望与方差为而频率具有随机性（即波动性），其期望与方差为显然当试验次数显然当试验次数n增大时，频率的期望值不变，而方差增大时，频率的期望值不变，而方差的极限为零，而方差的极限为零相应的随机变量为常的极限为零，而方差的极限为零相应的随机变量为常数，也就是频率当数，也就是频率当n增大时，其极限值为常数。

增大时，其极限值为常数 如何表示这种极限思想呢？它与数学分析中的极限如何表示这种极限思想呢？它与数学分析中的极限区别在哪里呢？区别在哪里呢？1713年伯努利在其论文中提出了这种极限的定义：年伯努利在其论文中提出了这种极限的定义：由此给出了概率论极限定理的第一个结论－由此给出了概率论极限定理的第一个结论－大数定律大数定律3 3、中心极限定理的引入、中心极限定理的引入将二项分布的随机变量标准化，即得将二项分布的随机变量标准化，即得此随机变量服从怎样的分布呢？此随机变量服从怎样的分布呢？ 法国数学家棣莫弗证明了当法国数学家棣莫弗证明了当p=1/2时，时， 后来拉普拉斯将此结论推广到后来拉普拉斯将此结论推广到0

种概率论命题的一个重要部分 伯努利大数定律提供了频率稳定于概率的理论基础，伯努利大数定律提供了频率稳定于概率的理论基础，这一结论在数理统计中有重要应用，特别是参数估计这一结论在数理统计中有重要应用，特别是参数估计问题中，这些大数定律的作用非常明显问题中，这些大数定律的作用非常明显.三、棣莫弗－拉普拉斯极限定理三、棣莫弗－拉普拉斯极限定理1、局部极限定理与积分极限定理、局部极限定理与积分极限定理设随机变量序列为设随机变量序列为则事件则事件A在试验中出现的次数为在试验中出现的次数为2、棣莫弗－拉普拉斯极限定理、棣莫弗－拉普拉斯极限定理棣莫弗棣莫弗拉普拉斯拉普拉斯证明证明 (i) 先证局部极限定理先证局部极限定理由由Stirling公式：公式：因而因而又因为又因为则则这是因为这是因为因此因此这是因为这是因为由此即证明当由此即证明当n 时，时，定理的第一部分已经证明定理的第一部分已经证明. (ii) 再证积分极限定理再证积分极限定理又因为又因为同时注意到：同时注意到：【定理证毕】【定理证毕】四、棣莫弗－拉普拉斯极限定理四、棣莫弗－拉普拉斯极限定理 的一些应用的一些应用1 1、导出伯努利大数定律、导出伯努利大数定律棣莫弗－拉普拉斯极限定理棣莫弗－拉普拉斯极限定理伯努利大数定律伯努利大数定律因而因而所以所以因而因而2 2、用频率估计概率时的误差估计、用频率估计概率时的误差估计由积分极限定理可知由积分极限定理可知上述结论可以解决一下几个问题：上述结论可以解决一下几个问题：3 3、局部极限定理在二项分布计算中的应用、局部极限定理在二项分布计算中的应用由局部极限定理可知由局部极限定理可知则则n较大时，二项分布的计算可以用下列近似式：较大时，二项分布的计算可以用下列近似式：4 4、积分极限定理在二项分布计算中的应用、积分极限定理在二项分布计算中的应用由积分极限定理可知由积分极限定理可知由此可以得到如下近似计算：由此可以得到如下近似计算：例例1 车间有车间有200200台车床，它们独立的工作着，开工率各台车床，它们独立的工作着，开工率各为为0.6,0.6,开工时耗电各为开工时耗电各为1 1千瓦，问供电所至少要供给这千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以个车间多少电力才能以99.9%99.9%的概率保证这个车间不的概率保证这个车间不会因为供电不足而影响生产会因为供电不足而影响生产. .解解设需要供电设需要供电r千瓦，才可以满足题设要求，即千瓦，才可以满足题设要求，即利用极限定理可得利用极限定理可得查表可得查表可得因而因而 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3º 的概率为的概率为1/3, 若船舶遭受若船舶遭受了了90000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有29500～～30500次纵次纵摇角大于摇角大于 3º 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3º 的次数为的次数为,则则是一个随机变量是一个随机变量,例例2所求概率为所求概率为分布律为分布律为直接计算很麻烦，利用棣莫弗直接计算很麻烦，利用棣莫弗－拉普拉斯定理－拉普拉斯定理作作 业业习题五习题五p320 1、、4、、5、、8、、14、、18、、19德莫佛资料德莫佛资料Abraham de MoivreBorn: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov 1754 in London, England拉普拉斯资料拉普拉斯资料Pierre-Simon LaplaceBorn: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France泊松资料泊松资料Born: 21 June 1781 in Pithiviers, FranceDied: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), FranceSiméon Poisson。