抽象函数经典题型大全-完美排版资料.pdf

优拓（优拓（U.TOP）教育）教育 【专为学生的成绩量身定做 第 1 页(共 38 页)数学】 个性化教学设计方案个性化教学设计方案 姓姓 名名 学学 科科 数 学 年年 级级 必修 1 学学 校校 教教 师师 章章 节节 第 1 章 课课 时时 12 课时 时时 间间 2017 课课 题题 抽象函数抽象函数 教教 学学 目目 标标 课课 前前 检检 查查 作业完成情况：作业完成情况： 优 □ 良□ 中□ 差□ 教教 学学 步步 骤骤 及及 内内 容容 《《抽象函数抽象函数》目录》目录 一、求表达式方法 2 1.换元法 . 2 2.拼凑法 . 2 3.待定系数法 . 2 4.利用函数性质法 . 3 5.方程组法 . 3 5.赋值法 . 3 二、抽象函数常见考点解法综述 5 1.定义域问题 . 5 2.求值问题 . 5 3.值域问题 . 5 4.奇偶性问题 . 6 5 单调性问题 . 6 6.对称性问题 . 7 7.求参数的取值范围 . 7 8.解不定式 . 7 9.周期问题 . 7 三、抽象函数五类题型及解法 9 1.线性函数型抽象函数 . 9 2.指数函数型抽象函数 10 3.对数函数型抽象函数 11 4.幂函数型抽象函数 12 5.三角函数型抽象函数 13 四、巩固练习. 15 优拓（优拓（U.TOP）教育）教育 【专为学生的成绩量身定做 第 2 页(共 38 页)数学】 抽象函数问题综述抽象函数问题综述 -----含有函数记号“( )f x”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号( )f x的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理 解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式方法一、求表达式方法 1.换元法换元法 例例 1：已知 ()21 1 x fx x   ,求( )f x. 解：设 1 x u x   ,则 1 u x u   ∴ 2 ( )21 11 uu f u uu     ∴ 2 ( ) 1 x f x x    例例 2：已知 f(x＋1)＝x＋2x，则 f(x)＝____________. 解：设 t＝x＋1，则x＝t－1，x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 2.拼凑法拼凑法 在已知( ( ))( )f g xh x的条件下，把( )h x并凑成以( )g u表示的代数式，再利用代换即可求( )f x.此解法简洁，还能进一 步复习代换法 例例 1：已知 3 3 11 ()f xx xx ，求( )f x 解： ∵ 22 2 11111 ()()(1)()(()3)f xxxxx xxxxx  又∵ 11 || ||1 || xx xx ∴ 23 ( )(3)3f xx xxx， (|x|≥1) 例例 2：已知 f(x＋1)＝x＋2x，则 f(x)＝____________. 解：f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1，故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 3.待定系数法待定系数法 先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例例 1：已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则 f(x)＝_____________. 解析 令 f(x)＝ax＋b(a≠0)，则 f(x＋1)＝a(x＋1)＋b f(x－1)＝a(x－1)＋b，代入条件中的式子得 ax＋5a＋b＝2x＋17，求得 a＝2，b＝7，故 f(x)＝2x＋7. 例例 2：设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等实根，且 f′(x)＝2x＋2，求 f(x)的解析式． 解:设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根，∴Δ＝4－4c＝0，解得 c＝1.故 f(x)＝x2＋2x＋1. 例例 3：已知( )f x二次实函数，且 2 (1)(1)f xf xx+2x+4,求( )f x. 解:设( )f x= 2 axbxc，则 22 (1)(1)(1)(1)(1)(1)f xf xa xb xca xb xc = 22 222()24axbxacxx比较系数得 2()4 13 21,1, 22 22 ac aabc b        ∴ 2 13 ( ) 22 f xxx 优拓（优拓（U.TOP）教育）教育 【专为学生的成绩量身定做 第 3 页(共 38 页)数学】 4.利用函数性质法利用函数性质法 例例 1：已知y=( )f x为奇函数,当x0 时,( )lg(1)f xx,求( )f x 解:∵( )f x为奇函数， ∴( )f x的定义域关于原点对称， 故先求x0,∴()lg(1)lg(1)fxxx , ∵( )f x为奇函数，∴lg(1)()( )xfxf x ∴当x0 时，f(x)1，且对任意的 a、b∈R，有 f(a+b)=f(a)f(b)， 求证：f(0)=1； 求证：对任意的 x∈R，恒有 f(x)0； （3）证明：f(x)是 R 上的增函数； （4）若 f(x)· f(2x-x2)1，求 x 的取值范围。

9.已知函数( )f x的定义域为 R,对任意实数,m n都有 1 ()( )( ) 2 f mnf mf n,且 1 ( )0 2 f,当 1 2 x 时, ( )f x0. (1)求(1)f; (2)求和(1)(2)(3).( )ffff n * ()nN; (3)判断函数( )f x的单调性,并证明. 10.函数( )f x的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意xR,有( )f x0;②对任意, x yR,有()[ ( )]yf xyf x;③ 1 ( )1 3 f. (1)求(0)f的值; (2)求证: ( )f x在 R 上是单调减函数; (3)若0abc且 2 bac,求证:( )( )2 ( )f af cf b. 优拓（优拓（U.TOP）教育）教育 【专为学生的成绩量身定做 第 22 页(共 38 页)数学】 11.已知函数( )f x的定义域为 R,对任意实数,m n都有()( )( )f mnf mf n,且当0x 时,0( )1f x. (1)证明:(0)1,0fx且时,f(x)1; (2)证明: ( )f x在 R 上单调递减; (3)设 A= 22 {( , )()()(1)}x yf xf yf,B={( , )(2)1,x yf axyaR},若 AB=,试确定a的取值范围. 12.已知函数( )f x是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线1x 对称. (1)求(0)f的值; (2)证明: 函数( )f x是周期函数; (3)若( )(01),f xxx求当xR时,函数( )f x的解析式,并画出满足条件的函数( )f x至少一个周期的图象. 13.函数( )f x对于 x0 有意义，且满足条件(2)1,()( )( ),( )ff xyf xf yf x是减函数。

（1）证明：(1)0f； （2）若( )(3)2f xf x成立，求 x 的取值范围 14.设函数( )f x在(,) 上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx， 且在闭区间 ［0， 7］ 上， 只有(1)(3)0ff． （1）试判断函数( )yf x的奇偶性； （2）试求方程( )f x=0 在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论 B A A 02a,解:由 2 (1)(1)0fafa得, 2 (1)(1)fafa,得 2 2 111 111 11 a a aa             02 220 21 a aa a         且02a  12xx；解：令1xy，则(1)2 (1)ff(1)0f，则 2 (log)(1)fxf 222 log1loglog 22xxx ………① ∵函数( )f x是定义在(0,+∞)上的增函数 ∴ 2 og01lxx,……………………………………………………② 由①②得，不等式的解集为12xx。

110 2 2 a  ；解： 22 (sin )(1cos)f axf ax 等价于 优拓（优拓（U.TOP）教育）教育 【专为学生的成绩量身定做 第 23 页(共 38 页)数学】 22 2 22 2222 2 sin33sin 31 1cos32cos20 5 sin1cos1cossin 1 4 axax a axaxa axaxaaxx aa                      22 110 22 2 110110 22 a aa aa              或 （1）解：令0ab，则(0)0f 令1ab，则(1)2 (1)(1)0fff （2）证明：令1ab ，则(1)2 ( 1)ff，∵(1)0f，∴( 1)0f  令,1ax b ，则()( 1)( )( )fxxff xf x  ∴( )f x是奇函数 （3）当0ab 时， ()( )( )f a bf bf a abba  ，令 ( ) ( ) f x g x x ，则()( )( )g a bg ag b 故()( ) n g ang a，所以 1 ()()( )( ) nnnnn f aag ana g anaf a   ∴ 1 (2)11 ( ) 22 n n n f uf n       ∵  111 (2)2,(1)(2)220 222 fffff     ∴ 111 (2) 242 ff       ，故 1 11 22 n n unN          ∴ 11 1 22 1 1 1 2 1 2 n n n snN            （1）令 a=b=0，则 f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令 a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ 由已知 x0 时，f(x)10，当 x0，f(-x)0 ∴又 x=0 时，f(0)=10 ∴对任意 x∈R，f(x)0 (3)任取 x2x1，则 f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 ∴ ∴f(x2)f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 （4）f(x)· f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又 1=f(0)， f(x)在 R 上递增 )( 1 )( xf xf 0 )( 1 )(   xf xf 1)()()( )( )( 1212 1 2 xxfxfxf xf xf 优拓（优拓（U.TOP）教育）教育 【专为学生的成绩量身定做 。