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数字信号处理练习题及答案第一章数字信号处理概述简答题：1.在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器,它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一-定时:采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器判断说明题：2.模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了需要增加采样和量化两道工序3.一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础第二章离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1.过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从x到y的整个系统等效为一个模拟滤波器。

a）如果必 ）截止于力/8 r,l/T =1 0攵H z,求整个系统的截止频率b）对于l/T =2 0 k”z,重 复6）的计算解(a)因为当网之/8%/时(e )=在 数 一 模变换中 )=11g)*X“曙)所以人5)得截止频率3c=兀怙对应于模拟信号的角频率5为因此3 =工=6 2 5 a2 兀 1 6 T由于最后一级的低通滤波器的截止频率为工，因此对二没有影响，故整个系T 8 T统的截止频率由决定，是6 2 5 Hzb)采用同样的方法求得1/T =2 0 k Hz,整个系统的截止频率为fcc=1 2 5 0/7 z1 6 T二、离散时间信号与系统频域分析计算题：1.设序列“()的傅氏变换为X(e“),试求下列序列的傅里叶变换1)-2)(2)*()(共辄)解：(1)x(2n)由序列傅氏变换公式c oD TFT%()=X(e M=ix(n)e jaM=-00可以得到D T F T j c(2n)=x(2n)e in(o=x(n)e n=-oo 为偶数=X /()+(T)x()e =-00 乙乙=-00 乙 n=f1 j 1 y(+-)=-X(e 2)+-X(e 2)2 21 产 产=-X(e 2)+X(-e 2)(2)%*()(共腕)8 8解：D TFT%*（）=Z =Z%（）e *=X *（0一）n=-o=-82.计算下列各信号的傅里叶变换。

a)2讥甸(c)凯4-2 (d)0解：(a)X(o)=2 “e T5=工 27-加/=-oo1 e2n=-cc(b)8 1X(G)=Z(a)%m+2 e-Mn=oon=-吁 2/3(-2)=6j2 s产一 i14nt=0(c)X(a)=ZM 此一向二Z 况 4 2 9=2/“=-oon=-oo1(d)00 1戈3)=X(与嘎=o 2-1=1.1 _ Q-W+1 .,l-eja,22利用频率微分特性，可得Y，小 i戒()A 3)=-Jda)1e2js121+-e-J(021(1,6 5)223 .序列x()的傅里叶变换为X(“)，求下列各序列的傅里叶变换1)x*(一 )(2)Re x()(3)解：(1)fx*(f)川”=口(一“=X*(*)=-oo n=-oo(2)Re x()e f =；()+/()刖=+X*(e#)n=-o n=-oc 乙 乙 二(x(,、)e5 v 1-d-x-W-e-jH-n-=_/.丁 d ._jmi=j.-dX-(-eiK)，一 J dw dw n=_x dw4 .序列M)的傅里叶变换为X(e ),求下列各序列的傅里叶变换1)*()(2)(3)/(“)解：(1)Z x*()e T=Z E S)/)*=2式)-5*=X*(e f)；J=-oC/!=-/=；x(*)_x*(/)(3)Y x2(n)e-Jm,=X(ei e)dd x(n)e-0)n=-oo=_oo _ 2乃 n n=o o12 4及X(ej0)X(ej(w-0)d0275.令x()和X )表示一个序列及其傅立叶变换，利用X(e )表示下面各序列的傅立叶变换。

1)g()=x(2)x(/2)0(2)g()=为偶数为奇数解：(1)G(*)=g=x(2)e*=.双女)丁=-0 n=O C k=-8k为偶数=；M)+(T)X/)厂建Jt=-O0 乙i a-jk-i a-jk-=ZHk)e 2+不 Z x(k)(*)e 2N k=-/k=-oo=-1 X(e J2-)+-1 x(k)e 22 2&=_2)H=-CO r=-co r=-006.设序列x()傅立叶变换为X(”)，求下列序列的傅立叶变换1)(2)x(一 为任意实整数(/2)”为偶数8 I 0 为奇数(3)%(2)解：X(d)”M%)/()=I 0(3)2 )c X(J%)n为偶数n为奇数c X(e )7.计算下列各信号的傅立叶变换)(+3)-(-2)(1)2,c os(18/0+s i n(2)(2)zQx/、Jc os C)l n 一加=：(X(e /)+X *(e T3)=X,(e w)oo oo乙 乙 x o()e-J3=：(x()一 x*()1-M=_/Imx(eW)00乙-00三、离散时间系统系统函数填空题：1.设H是线性相位F IR系统，已知“中的3个零点分别为1,0.8,1+j,该系统阶数至少为()。

解：由线性相位系统零点的特性可知，z=l的零点可单独出现，z=0.8的零点需成对出现，z=l+)的零点需4个1组，所以系统至少为7阶简答题：2.何谓最小相位系统？最 小 相 位 系 统 的 系 统 函 数 有 何 特 点？解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式MH(Z)=T-，他的所有极点都应在单位圆内，即|巴卜1Q(z)1.叱2=】但零点可以位于Z平面的任何地方有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统G(Z)=J/也是稳定因果的这就需要(Z)的零点也位于单位圆内，即 夕Y 1一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位等价的，我们有如下定义定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值|(一)|唯一确定从小 求”(Z)的过程如下：给 定,个，先求卜T，它是cosOM的函数然后，用g(Z+Z)替代cosOM，我们得到G(Z)=(Z)”(ZT)最后，最小相位系统由单位圆内的G(Z)的极、零点形成一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即”(Z)=11nli(z)w(z)完成这个因式分解的过程如下：首先，把(Z)的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共腕倒数点，这样形成的系统函数“mm(Z)是最小相位的。

然后，选择全通滤波器”W，(Z)，把与之对应的mi n(Z)中的零点映射回单位圆外3.何谓全通系统？全通系统的系统函数”即(Z)有何特点？解：个稳定的因果全通系统，其系统函数H 3(Z)对应的傅里叶变换幅值忖(e”)卜1,该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共腕倒数对出现，即Mp(7 N 7T _ zy*H.p(Z)=号=T=因而，如果在z =%处有一个极点,(Z)k=l则在其共腕倒数点z =%：处必须有一个零点4.有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系 统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式4）-（）-A h（n）-解：频率响应：（e ）=Z系统函数：”(Z)=(N)Z-差分方程:卷积关系:00y(n)=()*x(n)-0 0第三章离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1.如果宣）是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2 N 的周期序列把宜）看作周期为N 的周期序列有（”）一 我 （周期为N）；把宜）看作周期为2 N 的周期序列有工 一 见 （周期为2 N）；试 用 用 表 示.2（左）N-l N-l-j-kn解：（攵）=2#5）/。

21（”州 N=0 n=02N-1 Nl -i-n 2N-1 产 卜 门元（%）=ZM（）卬弁=Z 置）e N 2 +ZM（止 N2n=0=0 n=N对后一项令n=n-N ,则用伏）=N-工（%一 乏 V”N-l _包七N 2+（，+N）e 2 1n=0=0N-l-i-n=（l +e-M）ZH（）e N2n=0=(l +e-)X(1)由z 1文也）k为偶数所以X?（k）=2X 4）0 k为奇数二、离散傅立叶变换定义填空题N-12.某 D F T的表达式是X（/）=Zx（A）W j ,则变换后数字频域上相邻两个频率样攵=0点之间的间隔是（）解:2T T/MN-l3 .某序列I D F T的表达式是X（/）=Zx（叱J，由此可看出，该序列的时域长度是k=0（）,变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（）o解：N 2/M4 .如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（）解：纯实数、偶对称5 .采样频率为工 z 的数字系统中，系统函数表达式中不1 代表的物理意义是（），其中时域数字序列x（）的序号代表的样值实际位置是（）;其 ）的N 点D F T X（A）中，序号上代表的样值实际位置又是（）。

解：延时一个采样周期T =1/，=/尸，叫 二下卜6 .用8 kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了5 1 2 点的D F T则频域抽样点之间的频率间隔旷 为，数字角频率间隔Aw为 和模拟角频率间隔公o解：1 5.6 2 5,0.0 1 2 3 r ad,9 8.4 r ad/s判断说明题：7 .一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做D F T 对它进行分析如果序列是有限长的，就能做D F T 对它进行分析否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真计算题8 .令*（幻表示N 点的序列N ）的N 点离散傅里叶变换，X（6 本身也是一个N点的序列如果计算X（z）的离散傅里叶变换得到一序列吊（），试用M）求占（）N-I N-N-解：*（）=Zx伏）w/=z%=2 （）ZWk=O k=O L=0 J nf=O k=0因为N-l 叫(+心=k=0所以N0n+n=Nl其他N-lX|(n)=Z Nx(-n+Nl)=Nx(-)*RN 9.序列()=U，0其4 点D F/如下图所示现将X(“)按下列(1),(2),yt()=，(3)的方法扩展成8点，求它们8点的D FT?(尽量利用DFT 的特性)(1)(2)(3)x()x(n-4)解:为()=x()0为()=*)匕(2&)=2X(。

匕(2 4+1)=0 二0 3 二4 7 二0 3 =4 7=偶数n=奇数0 k3(2)y 2(A j=x(9 =x M=2k,Qk 7,()k3(3)均依)=X(优)4=X(k)0 )7,0 k 丁)“M=1十,+舒R J k M-N R J k)所以-NX(Q=E&1 2.计算下列序列的N 点D FT：（匕6）(1)x(n)=an,Q n N -(2)x(n)=c o s fI N,0 n N,0 m w/=:Jn=0 1 a WNI1-aN-a W,0 k N-12212N-(2)X(k)=c o s n=02/r mnN1 N-l*弓z2 =0 1.In.2%、j mn j mne N N711 c-当 k-m)1-e N+三-j2(k+m)1 -eN JjTr(k-m)j 工 e N加(A_m)_/竺&_,)乃；-e Ne可s i n(k -m)7r)/等(卜 阳)”s i n+H-j-k+m)o N力(A+。