行列式按行列展开.ppt

返回1.6 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开返回学习目的：降阶法计算高阶行列式返回例如例如返回可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算一般，将高阶行列式转化为低阶行列式后，计算会更简便一般，将高阶行列式转化为低阶行列式后，计算会更简便问题：一个问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个阶行列式是否可以转化为若干个 n－－1 阶行列式阶行列式 来计算？来计算？返回定义定义1：： 在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素所在的第所在的第 i 行和行和 第第 j 列划去后，余下的列划去后，余下的 n－－1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素的的 余子式 记为记为称称为元素为元素的的代数余子式代数余子式例如：例如：返回例例1 1 解解: 求出行列式求出行列式返回行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即定理定理1：：证明证明：： （先特殊，再一般）（先特殊，再一般）分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。

分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理1)假定行列式假定行列式D的第一行除的第一行除外都是外都是 0 返回由行列式定义，由行列式定义，D 中仅含下面形式的项中仅含下面形式的项其中其中恰是恰是的一般项的一般项所以，所以，返回(2)设设 D 的第的第 i 行除了行除了外都是外都是 0 把把D转化为转化为(1)的情形的情形把把 D 的第的第行依次与第行依次与第行，第行，第行，行，······，，第第2行，第行，第1行交换；再将第行交换；再将第列依次与第列依次与第列，列，第第列，列，······，，第第2列，第列，第1列交换，这样共经过列交换，这样共经过次交换行与交换列的步骤次交换行与交换列的步骤返回由性质由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，，行列式互换两行（列）行列式变号，得，得，返回(3)一般情形一般情形返回证毕返回例如，行列式例如，行列式按第一行展开，得按第一行展开，得返回利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式变为低一阶的行列式，，如此继续下去，直到化为三阶或如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。

二阶行列式计算高阶行列式的方法计算高阶行列式的方法返回例例1: 1: 计算行列式计算行列式返回练习：练习：用降阶法用降阶法 （按行按列展开）（按行按列展开） 计算行列式的值计算行列式的值57返回利用性质及展开定理计算行列式的利用性质及展开定理计算行列式的例题例题：：例例1：：按第二列展开按第二列展开按第二行展开按第二行展开返回例例2：：返回返回行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即推论：推论：证明：证明：由定理由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和代数余子式的乘积之和在在中，如果令第中，如果令第 i 行的元素等于行的元素等于另外一行，譬如第另外一行，譬如第 k 行的元素行的元素返回则，则，第第i行行右端的行列式含有两个相同的行，值为右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 返回综上，得公式综上，得公式在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式，并不一定在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式，并不一定简化计算，因为把一个简化计算，因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个（个（n－－1）阶行列）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。

但展开定理列含有较多的零时，应用展开定理才有意义但展开定理在理论上是重要的在理论上是重要的返回例例2:2:证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式返回 证明：证明：用数学归纳法用数学归纳法(1) 当当n=2时时,结论成立结论成立2) 设设n－－1阶范德蒙德行列式成立，证阶范德蒙德行列式成立，证n阶也成立阶也成立返回 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式返回证毕。