备战2024年中考-专题03 二次根式（讲义）（解析版）.docx

专题03 二次根式核心知识点精讲1．理解二次根式的意义，能用区分什么是最简二次根式，会找出同类二次二次根式．2．理解并掌握二次根式的性质．3．理解并掌握非负数的概念与常考题型．4．掌握二次根式的加减乘除以及混合运算方法．5. 理解根式的估值和运用6. 掌握二次根式的化简求值的方法． 考点1 二次根式的有关概念1.二次根式一般地，形如式子的式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数2.最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来3.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式考点2 二次根式性质1.二次根式的性质（1）双重非负性： （2） （3）积的算术平方根：（4）商的算术平方根：考点3 非负数1.非负数：正数和0统称为非负数。

如果a是非负数，那么可以表示为2.常见非负数及其性质①实数的绝对值：；②实数的平方：；③二次根式：；④如果几个非负数的和为0，那么每个非负数为0如考点4 二次根式的运算1.二次根式的加减法：先将各根式化为最简根式，然后合并被开方数相同的二次根式2.二次根式的乘法：3.二次根式的除法：4.二次根式混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）考点5 估值估值通常在无理数中使用一般采用夹逼法确定无理数所在的范围，具体地说，先确定无理数的被开方数，找出与被开方数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个无理数在那两个整数之间考点6 二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．【题型1：二次根式的有关概念】【典例1】（2023秋•梅州区校级）下列各式中，一定是二次根式的是（　　）A．−3 B．32a C．a2+2 D．a2−9【答案】C【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．【解答】解：A．−3，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；B．32a，三次根式，故此选项不合题意；C．a2+2，是二次根式，故此选项符合题意；D．a2−9，被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；故选：C．【典例2】（2023秋•龙华区校级期中）要使二次根式x−2有意义，x的值不可以取（　　）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：∵x﹣2≥0，∴x≥2．故选：A．【典例3】（（2023秋•信宜市期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）A．13 B．4 C．36 D．7【答案】D【分析】根据开平方根的知识以及分母有理化的知识点进行解题即可．【解答】解：A、13没有进行分母有理化，故不是最简二次根式；B、4=2，故不是最简二次根式；C、36=6，故不是最简二次根式；D、7是最简二次根式．故选：D．1．（2023•惠城区校级开学）已知12+m是整数，则自然数m的最小值是（　　）A．2 B．4 C．8 D．11【答案】B【分析】根据算术平方根的定义可得被开方数是16，进而求出答案．【解答】解：若12+m是整数，则自然数m的最小值是4，故选：B．2.（2023秋•信宜市期中）若二次根式x−2在实数范围内有意义，则x的取值可以是（　　）A．5 B．0 C．1 D．﹣5【答案】A【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得x≥2，∴x的取值可以是5．故选：A．3.（2023秋•龙岗区校级月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）A．12 B．2 C．13 D．0.1【答案】B【分析】应用最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行判定即可得出答案．【解答】解：A．因为12=23，所以12不是最简二次根式，故A选项不符合题意；B．因为2是最简二次根式，故B选项符合题意；C．因为13中被开方数13是分数，所以13不是最简二次根式，故C选项不符合题意；D．因为0.1=110=1010，所以0.1不是最简二次根式，故D选项不符合题意．故选：B．4.（2023秋•信宜市期中）下列二次根式中，能与3合并的是（　　）A．12 B．12 C．20 D．9【答案】A【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、12=4×3=23，能与3合并，符合题意；B、12=22，不能与3合并，不符合题意；C、20=4×5=25，不能与3合并，不符合题意；D、9=3，不能与3合并，不符合题意；故选：A．5．（2023秋•南山区校级期中）已知最简二次根式a+2与18是同类二次根式，则a的值为（　　）A．16 B．0 C．2 D．不确定【答案】B【分析】先把18化简为32，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到a+2＝2，从而得到a的值．【解答】解：∵18=32，而最简二次根式a+2与18是同类二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故选：B．【题型2：二次根式性质】【典例4】（2023秋•坪山区期中）若y=x−2+2−x+4，则yx＝　16　．【答案】16．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x和y的值，再计算即可．【解答】解：∵y=x−2+2−x+4，∴x﹣2≥0且2﹣x≥0，∴x＝2，∴y＝4，∴yx＝42＝16．故答案为：16．【典例5】（2023春•番禺区期末）下列计算正确的是（　　）A．22=±2 B．(−2)2=−2 C．3−8=−2 D．3−8=2【答案】C【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：A．22=2，故此选项不合题意；B．(−2)2=2，故此选项不合题意；C．3−8=−2，故此选项符合题意；D．3−8=−2，故此选项不合题意．故选：C．1．（2023秋•南山区期中）下列计算正确的是（　　）A．(−3)2=−3 B．23+42=65 C．27÷3=3 D．39=3【答案】C【分析】根据二次根式的加减法，二次根式的性质，二次根式的除法进行计算即可求解．【解答】解：A、(−3)2=3，故该项不正确；B、23与42无法合并，故该项不正确；C、27÷327÷3=9=3，故该项正确；D、39≠3，故该项不正确；故选：C．2．（2023•越秀区校级开学）下列各式中，正确的是（　　）A．（a+1）2＝a2+1 B．（2a）3＝6a3 C．(−4)2=4 D．16=±4【答案】C【分析】根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．【解答】解：A．（a+1）2＝a2+2a+1，故本选项不符合题意；B．（2a）3＝8a3，故本选项不符合题意；C．(−4)2=|﹣4|＝4，故本选项符合题意；D．16=4，故本选项不符合题意．故选：C．3．（2023•番禺区一模）下列计算正确的是（　　）A．22=2 B．(−2)2=−2 C．3−8=2 D．(−2)2=±2【答案】A【分析】根据平方根和立方根的定义进行化简．【解答】解：A．正确；符合题意．B.(−2)2=2；不符合题意．C.3−8=−2；不符合题意．D.(−2)2=2；不符合题意．故选：A．4．（2023春•东莞市校级）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：(b−1)2−|a−b|．【答案】a﹣1．【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．【解答】解：由数轴可知a＜1＜b，∴b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝|b﹣1|﹣|a﹣b|＝b﹣1+a﹣b＝a﹣1．【题型3：非负数】【典例6】1.（2023春•新会区校级）若a、b为实数，且|a−1|+b+1=0，则ab的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．0 D．±1【答案】A【分析】根据非负数的性质分别求出a、b，根据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：由题意得，a﹣1＝0，b+1＝0，解得a＝1，b＝﹣1，则ab＝﹣1，故选：A．1．（2023春•东莞市）若a+1+b−1=0，则a1011+b1011的值等于（　　）A．2 B．0 C．1 D．﹣2【答案】B【分析】首先根据算术平方根的非负性，求出a与b的值，然后代入代数式a1011+b1011中．【解答】解：∵a+1+b−1=0∴a+1＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣1，b＝1，∴a1011+b1011＝（﹣1）1011+11011＝﹣1+1＝0．故选：B．2．（2023春•雷州市校级）若|x−3|+y+4=0，则（x+y）2的值为（　　）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【答案】D【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再把x、y的值代入求解．【解答】解：根据题意得：x−3=0y+4=0，解得：x=3y=−4，则（x+y）2＝（﹣1）2＝1．故选：D．3．（2023春•南山区校级月考）a−b−3+|2a−4|=0，则a+b＝（　　）A．a+b＝﹣1 B．a+b＝1 C．a+b＝2 D．a+b＝3【答案】B【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，可得a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，从而得到a＝2，b＝﹣1，即可求解．【解答】解：∵a−b−3+|2a−4|=0，a−b−3≥0，|2a−4|≥0，∴a−b−3=0，|2a−4|=0，∴a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，解得：a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝1．故选：B．【题型4：二次根式的运算】【典例7】（2023•茂南区三模）下列计算正确的是（　　）A．2 3−3=2 B．21÷3=7 C．（﹣a ）2•a＝a3 D．（a2 ）3＝a5【答案】C【分析】利用二次根式的减法的法则，二次根式的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、23−3=3，故A不符合题意；B、21÷3=213，故B不符合题意；C、（﹣a ）2•a＝a3，故C符合题意；D、（a2 ）3＝a6，故D不符合题意；故选：C．1．（2023秋•龙华区校级期中）(−5)2的值为（　　）A．5 B．﹣5 C．5 D．−5【答案】A【分析】根据二次根式的性质直接计算即可得到答案．【解答】解：(−5)2=5，故选：A．2．（2023秋。