固体物理考试复习[汇编].pdf

精品文档 . 1、简立方原胞基矢体心立方原胞基矢面心立方原胞基矢 k j i aa aa aa 3 2 1 )(2/ )(2/ )(2/ 3 2 1 kjiaa kjiaa kjiaa )(2/ )(2/ )(2/a 3 2 1 jiaa ikaa kja 2、试证面心立方的倒格子是体心立方 证：设与晶轴a、b、c 平行的单位矢量分别为i、j、k面心立方正格子的原胞基矢可取为 )( 2 ),( 2 ),( 2 321 ji a aik a akj a a 由倒格子公式得 2 , 2 , 2 21 3 13 2 32 1 aa b aa b aa b可得倒格基矢为： ),( 2 ),( 2 ),( 2 321 kji a bkji a bkji a b 3、考虑晶格中的一个晶面（hkl） ，证明： (a) 倒格矢123hGhbkblb u rrrr 垂直于这个晶面； (b) 晶 格 中 相 邻 两 个 平 行 晶 面 的 间 距 为 2 hkl h d G u r； (c) 对 于 简 单 立 方 晶 格 有 2 2 222 a d hkl 证明： （a）晶面（ hkl）在基矢321aaa、、上的截距为 l a k a h a 321 、、。

作矢量： k a h a m 21 1， l a k a m 32 2， h a l a m 13 3 显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右图） ，且 0222 321 21 321 13 321 3221 321 21 1 aaa aa l aaa aa k aaa aa h k a h a blbkbh k a h a Gmh 同理，有02h Gm，03hGm 所以，倒格矢 hklGh晶面 （b）晶面族（ hkl）的面间距为： 精品文档 . hhh h hkl GG blbkbh h a G G h a d 232111 （c）对于简单立方晶格： 2 1 2222 lkh a Gh 222 2 2 lkh a d 4、一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热熔，并讨论高低温极限 解：按照德拜模型，格波的色散关系为w=vq由图色散曲线的对称性可以看出，dw 区间对 应两个同样大小的波矢区间dqa/2对应 L/a 个振动模式， 单位波矢区间对应有2/L个 振动模式， dw 范围则包含 dqLdqL dz 2 2 个振动模式， 单位频率区间包含的模式数目定 义为模式密度，根据此定义可得模式密度为： v L dw dqL dw dz wD)(再利用 a L NdwwD w0 0 )(式中 N 为原子数， a 为晶格常数，得 a v w0 由公式 2 / / 2 0 1 )( Tkw Tkw B w Bv B B m e dwwDe Tk w kC得其热熔量为 m B B w Tkw Tkw B Bv e dwe Tk w v L kC 0 2 / / 2 1 作变量变换 Tk w x B 得 T z x x B v D e dxxe v TLk C / 0 22 1 其中 B D k w0 在高温时x 是小量，上式被积分函数 1 1 2 z x x e xe 因此，晶格的高温热熔量 BBV Nkk a L C 在低温时 VD CT,/中的被积函数按二项式展开成级数 1 2 2 1 n nx z x x nex e xe 则积分 3 1 2 0 2 z x x e dxxe 此时期热熔量 v TkL C B V 3 2 5、模式密度计算 模式密度的一般表达式： 3 2 q VdS g q 德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定频率正比于q。

即cq 精品文档 . 代入式，容易得到： 2 323 1 4 2 2 VV g ccc （1）三维情况模式密度 对于三维情况， =c 2 q 在 q 空间等频率面为球面，半径为： q c 在球面上， ( )22 q d qCqC dqC 是一个常数，且球面积分为： 2 4dsq ，因此： 21 2 33323 2 111 4 2 2222 VdsVVV gdsq cqc （2）二维情况模式密度 对于二维情况，q 空间也约化为二维空间，其等频面实际为一个圆，圆半径为： q c 二维情况下的q 空间中的密度为：A/(2 ) 2 ， （这里 A 为二维晶格的面积） ，而且有： ( )22 2 q d qCqC dqC dLq 所以对于 =c 2 q，二维情况的模式密度为： 22 2 ( ) (2 )(2 ) 24( ) q dnAdLAqA g dCqCq （3）一维情况模式密度 同理，在一维情况下，q 空间有两个等频点+q 和-q仿上面的方法可以得到： 1 ( )2 (2 )(2 ) 2( ) 2 q dnLdqLL g dC C 总之，色散关系为 =c 2 q的形式时，在三维、二维和一维情况下，模式密度分别与频 率 的? ，0，-? 次方成比例。

精品文档 . 6、已知一维晶格中电子的能带可写成是式中 a),2cos 8 1 cos 8 7 ()( 2 2 kaka ma kE 晶格 常数， m是电子的质量， 求，能带宽度， 电子的平均速度，在带顶和带底的电子的有效质量 解： （1） 、当 a k，E（k）有最大值， 2 22 max 2 8 1 )1( 8 7 mama E 当 k=0 时， E（k）有最小值0) 8 1 1 8 7 ( 2 min ma E 所以： ma EEE 2 minmax 2 （2） 、)2sin 4 1 (sin2sin 4 1 sin 1 2 2 kaka ma kaakaa ma v （3） 、 22 2 * /kE m ， 因为 2 2 22 2 2 )2cos 2 1 cos()( ma kaakaakE Kk E k 所以当 k=0 时，带顶， 2 ) 2 1 ( | 22 2 2 2 0 *m aa ma m k 当 a k，带底，m a a ma a km 3 2 ) 2 ( )( 2 2 2 2 2 * 7、用紧束缚近似求出面心立方及晶格s 态原子能级相对应的能带函数 解面心立方晶格 s 态原子能级相对应的能带函数 0 ( )() s s ik Rs ss RNearest EkJJ R e v v vv s 原子态波函数具有球对称性 0*0 1 ()()( )( )( )0 sisi JJ RRUVd vvvvvvv 01 ( ) s s ik Rs s RNearest EkJJe v v v 任选取一个格点为原点 最近邻格点有12 个 精品文档 . 12 个最邻近格点的位置 ,,0 22 ,,0 22 ,,0 22 ,,0 22 aa aa aa aa 0,, 22 0,, 22 0,, 22 0,, 22 aa aa aa aa ,0, 22 ,0, 22 ,0, 22 ,0, 22 aa aa aa aa 0 22 s aa Rijk v vvv 01 ( ) s s ik Rs s RNearest EkJJe v v v () (0) 22 () 2 (cossin)(cossin) 2222 xyz s xy aa i k ik jk kijk ik R a ikk yy xx ee k ak a k ak a eii vv vvvv v v 类似的表示共有12 项 归并化简后得到面心立方s 态原子能级相对应的能带 0 1 ( ) 4(coscoscoscoscoscos) 222222 s s yy xxzz EkJ k ak a k ak ak ak a J v 精品文档 . 9、电子在周期场中的势能 222 1 (), 2 mbxna nabxnab当 ( )V x 0 ，xnab当(n-1)a+b 其中 a 4b，是常数 (1) 试画出此势能曲线，求其平均值. (2) 用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度 解： (I) 题设势能曲线如下图所示 (2) 势能的平均值：由图可见，( )V x是个以a为周期的周期函数，所以 111 ( )( )( )( ) aa b Lbb V xV xV x dxV x dx Laa 题设4ab，故积分上限应为3abb，但由于在,3b b区间内( )0V x，故只需 在,b b区间内积分这时，0n，于是 22 22232 111 ( )() 2236 bb bb bb bb mm VV x dxbxdxb xxm b aaa 。

（3） ，势能在 -2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 精品文档 . 2 0 00 21 ( )cos,( )cos( )cos 2222 bb mm m mmm V xVVx VV xxdxV xxdx bbbbb 11 2 22 1 0 2,1()cos 2 b gg mx EVmEbxdx bb 第一个禁带宽度以代入上式 , 利用积分公式 2 23 2 cossin2cossin u umudumumumumu mm 得 2 2 3 16m b 1 g E第二个禁带宽度 2 2 2,2 g EVm以代入上式 ,代入上式 2 2 22 0 ()cos b g mx Ebxdx bb 再次利用积分公式有 2 2 2 2m b 2 g E 12、内能，结合能，体弹性模量计算 精品文档 . 正格子与倒格子的关系 面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方 晶体： 构成粒子 （原子， 分子， 集团） 周期性排列的固体，具有长程有序性，有固定的熔点， 具有自限性，各向异性和解理性特点的固体 布拉伐点阵： 晶体的周期性结构可以看作相同的点在空间周期性无限分布所形成的系统，称 为布拉伐点阵。

布拉伐格子：在空间点阵用三组不共面平行线连起来的空间网格称为布拉伐格子 基元： 布拉伐格子中的最小重复单位称为基元 原胞： 在布拉伐格子中的最小重复区域称为原胞 晶胞：为了同时反应晶体的周期性和对称性，常常选取最小的重复单位的整数倍作为重复单 元，这种单元称为晶胞 对称操作 是指一定的几何变换 如某物体如绕某一轴旋转一定角度或对某一平面作镜象反映 等等 . 一种晶体可以有多种不同形式的对称操作，描述晶体的对称性的方法就是找出能使它 复原的所有对称操作 布拉菲晶格：由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称为布拉菲晶格 布里渊区： 在倒格子中， 以某个倒格点作为原点，作出它到其他所有倒格点的矢量的垂直平 分面，这些面将倒空间分割成有内置外的相等区域，称为布里渊区 布洛赫定理： 晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波，即电子的波函数具有以下形 式： 其中 k 为电子的波矢，Rn是格矢，上述定理称为布洛赫定理 导致晶体能带对称性的原因： 什么是回旋共振，观察到这种现象需要什么条件，它有什么用途 在恒定外磁场的作用下，晶体中的电子（或空穴）将做螺旋运动，回转频率若在垂直磁场 精品文档 . 方向加上一交变电场，当，交变电场的能量将被电子共振吸收，这个现象称为回旋共振。

可以用回旋共振频率测定有效质量 恒定磁场下电子的运动 精品文档 . 精品文档 . 。