高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版).docx

    高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)    2i i i j i j ± 第一章1、简述量子力学基本原理答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态QM 原理二1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符( A? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A? 的本征态 a i 展开如下： = ∑Ci aiiC i = a i ；而物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ]= 0 ， [x?i, p ? j]= i ij原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量(t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给i ? ?t(t ) = H? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A?(H )(t ) 的运动规律由海森堡方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ]原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt iHillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。

服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子 2、薛定谔图景的概念？ 答：(x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t来自 ψ(t ) 而 x 来自 x，这叫做薛定谔图景.?1 ? ? 0? 3、 已知= ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ?1 ?1 ? 1 | S x ± >=? = ? 1? (± ).4、已知：P 为极化矢量，P=，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求 证：2 21 12 2 x y z 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 21 12 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2)P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 2+y 2-x 2-y 2P 2=P 2+P 2+P 2=4(x x +y y )2+4(x y -x y )2+(x 2+y 2-x 2-y 2)2=4(x 2x 2+y 2y 2+x 2y 2+x 2y 2)+(x 4-2x 2x 2-2x 2y 2-2x 2y 2-2y 2y 2-2x 2y 2+y 4+x 4+y 4)=(x 4+2x 2x 2+2x 2y 2+2x 2y 2+2y 2y 2+2x 2y 2+y 4+x 4+y 4)=(x 2+y 2+x 2+y 2)2=(|C 1|2+|C 2|2)2 5、∧∧6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量 A 和 B 成立不等式：（1）先证明一个引理 --- schwarz 不等式：对于两个态矢|? 和| ? ，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量 a,b ，必有：对任意复常数，我们有：（3）（4）?|? 取= - ?| ?，代入上式可得（2）.现在证明（1）式：取（5）这里用态|? 来强调对任何 ket 矢量都适用，于是（2）式给出：（6） 因：? ∧ ∧ ? ? ∧ ∧ ? （7） 其中对易子?? A , ? B ? = ? A , ? B ? 是一个反厄米算符，它的平方值恒为纯虚数，而反?? ?? ?? ?? ? ∧ ∧}对易子?? A , ? B ?是厄米算符，它的平方值恒为实数，于是：的模的平方等于。

7、证明：幺正算符的本征态互相正交.解: 设 |n ? 是幺正算符 S 的一个本征态, 本征值为 n, 则 ?n|S |n ? = n => ?n|S = ?n|n => S +|n ? = n +|n ?即|n ? 也是 S +的本征态，而 H = S + S + 是厄米算符， H |n ? = (n + n +)|n ?故|n ? 也是 H 的本征态，而厄米算符的本征态相互正交, 所以幺正矩阵的本征态相互正交.8、试证明：若体系在算子变换Q 下保持不变，则必有[H,Q]=0这里H 为哈密顿算符，变换Q 不显含时间，且存在逆变换Q-19、论述态矢,波函数与图景,表象的关系,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.答案: 态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图景无关海森堡图景,态矢|（t（?S依赖时间t 而基矢|x?不含t,而对于海森堡图景而言，|?H不含t，于是时间依赖性完全转移到|x,t?H中去了10、求证11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量2m ? ? 答：一维谐振子的经典哈密顿量： H =1 (P 2+ m 2w 2q 2 ) 2m12、产生,湮灭算符的定义,为什么把它们叫产生湮灭算符?答案: 产生,湮灭算符的定义如下：定义粒子数算符可以得到：∧ ?由此可知 a ∧ | n ? 和 a ∧| n ? 分别是 N 的本征值为（n+1）和（n-1）的本征态。

故称其为产生湮灭算符13、证明谐振子在激发态中2 2? 1 ?2∧∧∧ +? ∧m ? ∧ + ∧ ? (?x ) (?p )= n + ? 2证明： x = a + a ? , p = i a - a ? ?∧∧? 2 ?∧ ?2? ∧ ?2?∧ 2 ? ∧ ?2 2 ? ? x = 0, p = 0x ? = x ? - x = x ? ? ? ? ? ? ?? ∧ ?2? ∧ ?2∧ 2 ? ∧ ?2同理： p ? = p ? - p = p ? ? ? ? ? ? ?? ∧ ?2? ∧ 2 ∧ + 2 ∧ + ∧ ∧ ∧ + ? ? ∧ 2 ∧ + 2 ∧ + ∧ ? x ? = 2m a + a + a a + a a ? = 2m a + a +1+ 2 a a ?? ? ? ? ? ?? ∧ ?2m ? ∧ 2 ∧ + 2 ∧ + ∧ ?p ? = 2 - a - a +1+ 2 a a ?? ? ? ?对于激发态 n ? ∧ ?2x ? =(1+ 2n )? ∧ ?2p ?= m (1+ 2n )? ?? ∧ ?2? ∧ ?2? 12m?2 ? ?2 x ? p ? = + n ? 2? ?? ? ? 2 ?14、请构造相干态.解:相干态为最小不确定态，同时是的本征态，记为L x y z在 N 表象中解此方程，展开：由 得又有，所以由归一化条件得：15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径————薛定谔的表述形式，即波动力学，它重视描述粒子“波粒二重性”运动的波函数。

1） 海森波的矩阵力学，它重视可观察量把可观察量和算符间建立了一一的对应关系，研究算符的运动方程，它包含有对易关系的运算2） 第三种是狄拉克和费曼发现的，他们着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系，重视“传播函数”或“传播子”的作用16、由最小作用量原理推导拉格朗日方程第二章17、势散射：两粒子的相互作用，可以是能用二者的相互作用势能V (r 1r 2 ) 表达的引力或斥力，这时的散射称为势散射. 18、证明 S 算符是么正的证明：因为 s + s = Ω(+)+Ω(-)Ω(-)+Ω(+)且所以所以算符 S 是么正的第三章19、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符轨道角动量? = r ? p ；[L , L ] = iLxyxy?自旋角动量S ；[S x , S y ] = i S z[L , S ] = 0 → J = L + S 仍为角动量[J x , J y ] = [L x + S x , L y + S y ]证： = [L , L ] +[S , S ]= i L z + i S z = i J z一般地若两角动量满足[J 1, J 2 ] = 0 则 J = J 1 + J 2 也是角动量进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符设 J n ? J m = i J n nm即[J nx , J my ] = i J nz nm则对于 J = J n n =1? J =∑n =1 J ?n ; = x , y , z[J x , J y ] = [∑ J nx , ∑ J my ] = ∑∑[J nx , J my ]n =1m =1 n =1 m =1= ∑∑i J n nm = ∑i J nz =i J zn =1 m =1n =1k kk k k kk k k∑  -全文完-。