22减少误差的计算原则精.doc

二、数值计算中的一些基本原则■避免绝对值小的数作除数■避免两个相近的数据相减要防止大数吃掉”小数■尽量减少计算工作量■选用数值稳定性好的算法1/21■避免绝对值小的数作除数这一原则主要指尽量避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法设z = y/x（xHO）,如果x的绝对值远小于y的绝 对值，由于s（2_）“ lx l£（y）+ly ls（x）X I X I2£（丿）| lx I2/21■避免两个相近的数据相减如果y ~事现分析两个数的近似数作减法所得结 果的误差.设z=y- x,则利用误差估计s(z) = s(y) + s(x)有相对误差估计当时，有Z"O,计算结果的相对误差限可能很 大，导致数值计算结果的有效数字位数减少■要防止大数“吃掉''小数一个绝对值很大的数和一个绝对值很小的数直接相加 时，很可能发生所谓“大数吃小数杯的现象例如，&=10® b=\.设想这两个数在具有12位浮点 数计算机系统(12位有效位数系)中相加a + b= IO" + 4二1・ 0000000000000 X 1013+0. 0000000000004 X10】3实际加法操作如下1 .(MMMMMMMHM) Ox 10,3 + 0.(MMMM)00000 OxlO13=1.000000000() Ox 10,3■尽量减少计算工作量在考虑算法时应注意简化计算步骤，减少运算次数。

计算工作量小的算法不仅节约运行时间，而且使误差 积累小例2设计算法用于计算多项式(x) = + a{x + a2x2 +•・•+ anxH算法一：S o=勺，+ 牛対，(k= 1, 2, ...» n )sr Sk-iPO 二 Sn 计算一个〃次多项值需要用In次乘法5/21n■尽量减少计算工作量另一种典型算法是秦九韶算法X2 a + Xn a +o aX4 a +JX3 a +4 a X +3 a X +2 a X +9 /7 (计算一个n次多项值需要用n次乘法■选用数值稳定性好的算法不同的算法在执行过程中对数据误差的影响是不一样的舍入误差对计算结果影响不大的算法被称为数值稳定的算法.例3利用递推式计算定积分(n- 0,In - e x [ xne Xdx" Jo2,…，20)的值7/21算法一：/„ = el(xnex^-n[l xn~lexdx) = 1 -n/„ ” v Io Jo ”其中 zo = exdx = e~l(e =得递推关系式利用递推式可得20个数据如下表:0. 36787944117144rzn0. 077352229358780. 264241117657120. 071773247694640. 20727664702865Ej0. 066947779969720. 170893411885380. 06273108042387$50. 14553294057308S応0. 059033793641900. 126802356561520. 05545930172957 j0. 112383504069360. 057191870597310. 10093196744509-0・ 02945367075154$90. 09161229299417Sr1. 559619744279190. 08387707005829Sj•30. 19239488558378对积分值有估计式：-^-^e-l\'xHexdx < —II +1 Jo n +1D Q ^3 9/21算法二： 由递推公式有 1—1 =丄（1 一人）n由厶的估计式#/21有S■“ =-(l-S"), n = 3049,28, • ,2tl利用递推式可得20个数据如下表：0. 367879441171440. 077352228862660. 264241117657120. 071773253648030. 207276647028650. 066947702575620. 170893411885380. 062732163941380. 145532940573080. 059017540879300. 126802356561530. 055719345931240. 112383504069300. 052771119168990. 100931967445590. 050119854958090. 091612292989660. 04772275579621 10. 08387707010339$200. 04554488407582■结论初始误差在算法执行过程中不断减小，这种算法称 为数值稳定算法。

在算法执行过程中•舍入误差对计算结果影响不 大的一类算法被称为数值稳定算法;否则称为不稳 定算法.#/21例4•水中浮球问题有一半径r =10 cm的球体，密度q 二0・638•球体浸入水中后,浸入水 中的深度d是多少？根据阿基米德定律•物体排开水的质■就是水对物体 的浮力v = f刃八(DM13/21由 q =0.63 & r = 10•代入一得 一 30 〃 2 + 2552 = 0令 /(x) = x 3 - 30 x2 + 2552，函数求解方程/(x)=0,即 是求函数几r)的零 点・/(兀)的零点所 在区间为:[0,20] roots([l -30 0 25521) ans =26.31461L8615-8.1761整理得：rf3 — 3rJ2 + 4r3p=0#/21用数值方法求非线性方程的根,分两步进行：第一步:对根进行隔离,找出隔根区间•或在隔根区间内 确定一个解的近似值％;第二步:逐步逼近，利用近似解5(或隔根区间)通过迭代算法得到更精确的近似解.设/仪)==0的根为通过迭代计算•产生序列：x0 -> Xj -> x2 -> …->xn 只须 lim xn =兀*/1->0015/21二、二分法定理2.1设函数f (x)在区间［a, b］上连续，且 f (a) f (b) < 0,则方程f (x) = 0 在区间(a, b) 内至少有一个根。

醫陶■对有根区间［a, b］逐次分半，直到满足精 度要求/21二分法计算过程中产生区间序列[ak, bk] (k= 1, 2, 3,・・・・・・) 显然有[a, b]z>[ar 1^]=>[32, b2] z>... z)[an, bn]有如下性质(1) bn - an= (b - a) / 2n；⑵ anH 鼻 ％，S+i W bn ;(3) f (an) f (bn) < 0・当n充分大时，令定理2.2设才为方程f(x) = O在区间［a, b\内的唯 一根，f (力 满足f (a) fdb) < 0,则二分法计算过 程中第〃个区间［弓，如的中点暫满足不等式证：因为乞，所以牙”一“[二 +b„)- x9 = y|(a„ -x*) + (/>B -x*)|M *[l 5 - x" I + - x* I]=扌[(亠5)+ (九」)]1K/21故有由此可知，当n«>8时，Xn x\即二分法产生的序 列收敛第一步：输入误差限％, Er计算Yi <- f (a), y2e f (b)；第二步：计算x0 <-0.5 (a+b) , y0<-f (“)，若 ly0_yjl< e0,则输出结束否则转第三步；第三步：若y0y!<0,则置b Xq, y2 <- y0；否则 a<- x(), yj <- y0,转第四步；第四步：若Ib-alX］则转第二步；否则，输出"结 束。

/21• x ■7厂—4\QC8■2 zE..U-31■丿irIi c1 WH> s> o> Q « .厂4 b •1 zsSc•WHflB EouX sq> u1.2500笑卜■s s s X■pm 二 + 丄H^E・q=J?i(【q・nDd.£ppuo©ahea©g©益 q ovorEr- 言)J=OA uq+Ers・HOX suxu^ VW .AOO・=OJE)JUE>>芋 quj 卑 ozuqHnE M.ZSSZ+ZV.FOnvzk.EsTJo H zssz + m餵叵僅黑。