向量函数的积分ppt课件.ppt

§§1.51.5、向量函数的积分、向量函数的积分1、体积分 设D是R3中的一个体积元V， 在V中定义的函数 定义（体积分）定义（体积分）：设 是V的一个分割， ，任取点 ，作和式：当 时，若和式的极限存在，且与V的划分与 的选取无关，则称这个极限为 在V上的积分，记做在R3空间， 可以表示为：则：体积分的计算规则：(1) 设 为常向量， 为数量函数，则：(2) 设 为常向量， 为向量函数，则：(3) 设 为常向量， 为向量函数，则：例例1：设V是平面 和三个坐标平面x=0,y=0 z=0所围的区域，求 在V上的体积分解： 如图表示，则： 分别计算三个分量的积分，首先： 同理： 最后得：2、曲面积分 设D是R3中的一块简单、分块光滑的空间有向曲面 ，我们可以定义 沿 一侧的积分。

定义定义(曲面积分曲面积分)：设 在空间曲面 上有定义， 为 的任意一个分割，记 ，任取点 ，作和式：当 时，若和式的极限存在，且与 的划分与 的选取无关，则称这个极限为 在 上的积分，记做 在R3空间， 可以表示为：若 的法向量的单位向量为：则：所以：例2：设 是平面 和三个坐标平面 所围的闭曲面，求 沿 的外侧的曲面 积分解： 如图表示， 是分别表示三角形 OAB,OBC,OCA所围平面， 代表ABC的 所围三角形，则： 对于 ，z=0，dz=0，则： 同理： 对于 ，则： 而： 所以： 同理： 最后得：例3：设 是球面 ，求 沿球面外侧的积分。

解：对于球面来说，其任意点 的法向分量为 所以，沿球面外侧的积分为：3、曲线积分 设l是R3中的一条简单、分段光滑的空间有向曲线 ，我们可以定义 在曲线 上的积分 定义定义(曲线积分曲线积分)：设 为空间内由点A到点B的一条有向光滑曲线，任取分段点 ，把 分成n个有向线段，定义 ，记 ，任取点 ，作和当 ，和式的极限存在且和曲线的划分与 的选取无关，则称这个极限为 沿曲线 的曲线积分，记作 在R3空间， 可以表示为：若 的法向量的单位向量为：则：所以：例4：设 为平面 与三个坐标平面的交线所围的 闭曲线，曲线方向如图所示，求函数 沿曲线正向的积分。

解： 由 围成，  同理： 最后得： 对于 ，z=0，dz=0，则：4、Gauss公式和Stokes公式GaussGauss公式：公式：设空间曲面 是分片光滑的双侧闭曲面，其内部区域记为 ，设函数 在 和 上连续，在 内具有一阶偏导数，则：Stokes公式公式：：设空间曲面 是光滑的有界曲面，其边界l是一条分段光滑的闭曲线，设函数 在 和l上连续，在 上具有一阶偏导数，则：总 结1、体积分 体积分的定义 体积分公式：2、面积分3、线积分 4、Gauss公式和Stokes公式作业：作业：(1) 设l为正向圆周 ，向量 ，求积分(2) 设运动路径 ，端点 ，求质量 为m的物体由A运动到B重力所作的功(z轴方向为垂直向上)。