量子力学第四章表象.doc

第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1．态的表象变换 将F表象中的态函数对力学量算符在F表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q表象中的态函数这就是将F表象中的态函数变换到Q表象中的态函数的方法为了便于求出展开系数，通常要求的本征函数组为幺正基组 以从表象变换到Q表象为例表象中的态函数为[或]设的本征值为分立谱Qn，对应的本征函数为当各Qn都无简并时，对的展开式为： （4.1-1）若Qn表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n应表示几个对应的量子数的集合当Qn存在简并时，展开式为：　 　　（4.1-2）其中i为描写简并的角标下面只讨论无简并的情况在（4.1-1）式中，an(t)是Qn与t的函数，an(t)相当于a(Qn,t)的简写当Qn在整个展开系数中变动由于Qn为分立谱，所以函数关系an(t)-Qn不是连续的an(t)就是变换到Ｑ表象中的态函数例如，将表象中的某态函数对与的共同本征函数组展开：　　 　（4.1-3）上式相当于（4.1-1）式中的n表示两个量子数lm的集合。

上式中的就是在与共同表象中的态函数 2．本征态的排序 本征态的排序可以化为对应的本征值的排序若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同 对于分立谱的本征值，通常存在公认的排序约定例如：一维谐振子对应能级的波函数为，n的排序为：n=0，1，2……氢原子束缚定态为，主量子数n[对应的本征值En]的排序为：n=1，2，3……，角量子数[对应的本征值]的排序为：l=0，1，2……，磁量子数m[对应的本征值mh]的排序为：m=l，l-1，…，-l；lm的综合排序为：lm=∞，11，10，1-1，22，21，20，2-1，2-2……；nlm的综合排序即力学量完全集合各量子数的综合排序为：nlm=100,200,211,210,21-1…… 在综合排序中，某量子数重复出现的个数就是该量子数对应的本征值的简并度值得注意的是：本征值的简并度与对应的本征态所处空间的维数有关例如的本征值mh在一维空间中对应的本征态为，这时的本征值mh无简并，而在二维空间中对应的本征态可取为，则本征值mh的简并度很大。

L相当于描写简并度的角标但对于与的两个本征值的集合而言又是无简并的对于连续谱本征值，在数值计算中常按步长进行离散化处理后再排序，当步长趋于零时便可过渡到连续排序离散变量的排序是可数的，而连续变量的排序是不可数的 3、态的矩阵表示在（4.1-1）式中，设Qn的排序为：Q1，Q2，……，按此排序可将an(t)排列为下述列矩阵A： （4.1-4）则A(t)称为Q表象中态的矩阵表示，而an(t)称为Q表象中态的函数表示A的能量共轭为行矩阵A+： （4.1-5）在态的函数表示中，，但在态的矩阵表示中，，是一个数，而是一个方矩阵若的本征值Q为连续谱，则（4.1-1）式应改变： （4.1-6）按Q的排序可将aQ(t)排列为下述列矩阵： （4.1-7）为Q表象中态的矩阵表示，而aQ(t)为Q表象中态的函数表示。

显然，上式中的行角标是不可数的，而（4.1-4）式中A的行角标是可数的同理，（4.1-1）式中的为表象中态的函数表示，按的排序可将排列为列矩阵，的行角标也是不可数的从以上的讨论可知，一个物理体系的状态在任何表象中都有两种表示法，即函数表示法与矩阵表示法当本征态排序确定后，这两种表示法是完合等价的一般说来，在分立谱表象中采用矩阵表示较好，而在连续谱表象中采用函数表示较好4．力学量算符在自身表象中的本征函数在的自身表象中，若的本征值为连续谱，则由（4.1-6）式可知，当时，应有，所以对应本征值的本征函数为因所以构成幺正基组是的本征函数在自身表象中的函数表示对应的矩阵表示是一个连续的列矩阵，其矩阵元在点处为∞而其余各处都为零若的本征值为分立谱，则由（4.1-1）式或由（可知，对应本征值Qm的本征函数为，是的简写因所以构成幺正基组是的本征函数，在自身表象中的函数表示对应的矩阵表示是只有一个元素为1（对应）而其余元素都为零的列矩阵如果与对歇脚，则它们有构成完备系的共同本征函数在G与Q的共同表象中，设与的本征值都为分立谱，则它们的共同本征函数的函数表示为，其中与为本征值，而Gn与Qi为变量例如在与的共同表象中，对应本征值而对应本征值的共同本征函数的函数表示为，或者说表象中的变换到L2与Lz的共同表象便成为[见（4.1-3）式]。

根据lm的综合排序可得到对应的列矩阵表示例如当，时，对应的矩阵表示是第三行元素为1而其余元素都为零的列矩阵4.2 算符的表象变换和算符的矩隈表示1．算符的表象变换许多算符的表示式都是在表象与表象中给出，从而可实现这些算符在表象与表象之间的变换但表象中的等算符不易变换到表象，表象中的算符也不易变换到任意Q表象下面将讨论算符表象变换的一般方法设在表象中，算符作用于函数后得到函数即 （4.2-1）上式可变换到Q表象设的本征值为分立谱，对应本征值Qn的本征函数为，构成幺正基组若表示几个对易算符的集合，则n表示几个对应的量子数的集合将和对展开： （4.2-2）将上式代入（4.2-1）式得：以左乘上式两连，再对整个空间积分得：其中设 （4.2-3）则得： （4.2-4）上式就是（4.2-1）式变换到Q表象后的表示式。

上式右边的可视为在Q表象中的算符形式当的本征值为连续谱时，（4.2-3）式应化为： （4.2-5）（4.2-4）式应化为：上式就是（4.2-1）变换到Q表象的表示式上式右边的可视为在Q表象中的算符形式值得注意的是：表象中的（4.2-1）式与Q表象中的（4.2-6）式在形式上并不是严格对称的这是由于在（4.2-6）式中含有对的积分之故当时，（4.2-6）式化为： （4.2-7）上式与（4.2-1）式在形式上并不相同，但上式可以化为（4.2-1）式因对应本征值与的本征函数分别为与，则=则（4.2-7）式化为：则可得：上式即是（4.2-1）式可见利用（4.2-6）式可将作用于的算符化为作用于的算符同理，若在表象中可表示为，则作用于的算符可以化为作用于的算符可以化为作用于的算符2．算符的矩阵表示按的排序将（4.2-4）式写成矩阵形成为： （4.2-8）在上式中，若以B表示左边的列矩阵，以F1与A表示右边的方矩阵与列矩阵，则上式可写为：B=FA（4.2-8）式或（4.2-9）式即为（4.2-1）式在Q表象中的矩阵表示。

F即为算符在Q表象中的矩阵表示式F的矩阵元由（4.2-3）式给出 若的本征值为连续谱，则以（4.2-5）式中的为矩阵元可以得到在Q表象的矩阵表示，但该矩阵的行与列都是不可数的若的本征值既有分立谱又有连续谱，则在Q表象的矩阵表示既有可数的行与列又有不可数的行与列 （4.2-4）式与（4.2-6）式都是在幺正基组下导出的根据（4.2-3）式或（4.2-5）式很易证明：在幺正基础下，若为单位算符，则F是单位矩阵，即F=1（这里的1表示单位矩阵）；若为厄密算符，则F是厄密矩阵，满足；若为幺正算符，则F是幺正矩阵，满足为F的转置共轭矩阵，为F的逆矩阵，F的转置矩阵可以记为或 从以上的讨论可知，算符在任何表象中都有两种表示法，即算符形式表示与矩阵形式表示一般说来，在分立谱表象中采用矩阵形式表示交好；在连续表象中采用算符形式表示较好 3．工作表象在（4.2-3）式与（4.2-5）式中计算矩阵元时，的表示式以及的本征函数都是在表象中给出的，积分是在空是进行的，这时的工作表象是表象，若的表示以及的本征函数都是在表象中给出的，积分是在空间中进行的，则工作表象是表象工作表象是可以任间选取的，只要能给出与在工作表象的表示式即可。

当求在Q表象中矩阵表示的矩阵元时，若能给出在Q表象中的表示式，则选取Q表象作为工作表象可使计算最简便4．算符在自身表象中的矩阵表示考虑在自身表象中的矩阵表示且的本征值为分立谱的情况当的本身值无简并时，由（4.2-3）式可得： （4.2-10）由此可以得出结论：算符在自身表象中的矩阵表示是一个对角矩阵，对角元素就是各本征值对角元素从左上角到右下角的排序与本征值的排序一致当的本征值有简并时，（4.2-10）式应改为： （4.2-1）其中mi为行角标，nj为列角标，i与j为描写简并的角标由上式可知，的矩阵表示仍为对角矩阵若Qm的简并度为f，则当m=n时，i与j相等的次数为f，所以对角元素中将出现f个Qm各Qm所在的位置由mi（或nj）的排序决定行角标的排序与列角标的排序应该相同5．矩阵运算的几个公式矩阵运算应满足一些基本的运算法则例如，只有行数与列都相等的矩阵才能相加；数a与矩阵A的乘积定义为a乘A的所有矩阵元，aA=Aa；乘积AB中要求A的列数等于B的行数；对于方矩阵，一般AB也不等于BA，若AB=BA，则称A与B对易；矩阵的微分与积分定义为对所有矩阵元进地微分与积分等。

下面再介绍几个基本运算公式： （4.2-12）证明如下：所以 （4.2-13）根据（4.2-12）式与（4.2-13）式可得： （4.2-14）同理可得：如果，方矩阵A的行列式也常计为detA]，则称A为非奇异矩阵，非奇异矩阵A存在逆矩阵，（单位矩阵）因与都是A。