人教a版高中数学必修1知识点总结.doc

1第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 课时一：集合有关概念课时一：集合有关概念1.1. 集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体这个整体2.2. 一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集3.3. 集合的元素的三个特性：集合的元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属 于例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有 的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的 例：由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.3.集合的表示集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。

1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 {xR| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合 4 4、集合的分类、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合 例：{xR|x2=－5｝ 5 5、元素与集合的关系：、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aA  注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 2实数集 R课时二、集合间的基本关系课时二、集合间的基本关系 1.“1.“包含包含””关系关系——子集子集 （1）定义：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集记作：（或BＡ）BA  注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；BA  （2）A 与 B 是同一集合。

反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2 2．．““相等相等””关系：关系：A=BA=B (5≥5(5≥5，且，且 5≤55≤5，则，则 5=5)5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集AA②真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 B A)或若集合 AB，存在 x B 且 xA，则称集合 A 是集合 B 的真子集 ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3.3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为不含任何元素的集合叫做空集，记为 ΦΦ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2n-1个真子集课时三、集合的运算课时三、集合的运算 运算类型交 集并 集补 集 定 义由所有属于 A 且属于 B的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集．记作AB（读作‘A 交 B’）I，即 AB=｛x|xA，I且 xB｝．由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集．记作：AB（读作U‘A 并 B’），即 AB U={x|xA，或 xB})．全集：一般，若一个集合含有我们 所研究问题中的所有元素，我们就 称这个集合为全集，记作：U 设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子 集，由 S 中所有不属于 A 的元素组 成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作，ACSCSA=},|{AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2S A3性性 质质A ∩ A=A A ∩Φ=ΦA ∩B=BAIA ∩BA A ∩BBAUA=A AUΦ=AAUB=BUA AUBＡAUBB(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(A∩B)AU(CuA)=UA∩(CuA)=Φ．课时四：函数的有关概念课时四：函数的有关概念 1．函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和 它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A． （1）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； （2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A } 叫做函数的值域． 2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则 3．函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域 （2）图像法：确定函数图像是否连线，函数的图像可 以是连续的曲线、直线、折线、离散的点 等等。

（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定 义域的特征 4、函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标， 函数值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)， 反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点 (x，y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，旋转 变换3）函数图像变换的特点：1）函数 y=f(x) 关于 X 轴对称 y=-f(x)2）函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称 y=f(-x)3）函数 y=f(x) 关于原点对称 y=-f(-x)4课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法 1、函数解析式的求法 （1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时， 一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法： 2）待定系数法： 3）换元法： 4)拼凑法： 2 2．定义域．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数式、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域 是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3 3、相同函数的判断方法、相同函数的判断方法：：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；②定义域一致 (两点必须同时具备) 4 4、区间的概念、区间的概念： （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示 课时六：课时六： 1 1．值域．值域 : : 先考虑其定义域先考虑其定义域 （1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反函数表示法：针对分式的类型，把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关 于 Y 的函数关系式，由 X 的范围求 Y 的范围（即由反 函数的定义域求原函数的值域） (3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的 值域，注意定义域的范围。

(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的 类型5课时七课时七 1.分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数 （2）各部分的自变量的取值情况． （3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数 （4）常用的分段函数 1）取整函数：2）符号函数：3）含绝对值的函数： 2．映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使 对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应， 那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射记作“f（对应关系） ：A（原象）B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说 的。

所以函数是映射，而映射不一定是函数课时八、函数的单调性课时八、函数的单调性( (局部性质局部性质) )及最值及最值 1 1、增减函数、增减函数 （1）设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的 任意两个自变量 x1，x2，当 x11，且 ∈axnxannn*．N 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数 此时，a 的 n 次方根用符号 表示 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数此时正数 a 的正的 n 次方根用符号 表示，负的 n 的次方根用符号 表示正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成 （a>0） 注意：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 n当 是奇数时，，当 是偶数时，naannn   )0()0(||aa aaaann式子 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数 3、分数指数幂正数的分数指数幂，) 1,,, 0(*nNnmaaanmnm ) 1,,, 0(11*nNnma aaa nm nmnm0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义4、有理数指数幂的运算性质 （1）ra·srraa；),, 0(Rsra （2）rssraa)(；),, 0(Rsra （3）srraaab)(．),, 0(Rsra5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂aa（a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。

有理数指 数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂 课时十二：指数函数的性质及其特点（课时十二：指数函数的性质及其特点（1 1）） 1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中 x 是自变) 1, 0(aaayx且 量，函数的定义域为 R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1．为什么？ 2、在同一坐标平面内画出下列函数的图像： （1） （2） （3） （4） （5）图像特征图像特征a>1a>101 向Ｘ、Ｙ轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R9课时十三：指数函数的性质及其特点（课时十三：指数函数的性质及其特点（1 1）） 指数函数的图象和性质 a>10。