排列组合完美学案.pdf

排列与组合完美学案1 学习目标；掌握排列、组合问题的解题策略2 重点：（1） ，特殊元素优先安排的策略：（2） ，合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略3 难点综合运用解题策略解决问题4 学习过程 : (1) 知识梳理1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2 类中 有2m种 不 同 的 方 法 ,,在 第n类 型 有nm种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 事 共 有nmmmN21种不同的方法2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1 步有 m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法 ,, ，做第 n 步有 mn种不同的方法； 那么完成这件事共有nmmmN21种不同的方法特别提醒： 分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3．排列：从n 个不同的元素中任取m(m≤ n)个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 4．排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 . 从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m nA表示 . 5．排列数公式：),,()!(!)1() 1(Nmnnm mnnmnnnAm特别提醒：（1）规定 0! = 1 （2）含有可重元素．．．．．．的排列问题 . 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有 k 个不同元素a1，a2, ⋯ .an其中限重复数为n1、n2⋯⋯ nk，且 n = n1+n2+⋯⋯ nk , 则 S 的排列个数等于 !!.!!21knnnnn. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!31!2!n又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1 ! 3! 3n. 6．组合：从 n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 . 7．组合数公式： )!( !!!) 1()1(mnmnC mmnnnAACm nm mm nm n8．两个公式：①_;mn nm nCC②m nm nm nCCC11特别提醒： 排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素 . 区别：前者是 “ 排成一排 ” ，后者是 “ 并成一组 ” ，前者有顺序关系，后者无顺序关系. (2) 典型例题考点一 : 排列问题例 1, 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端. 考点二 : 组合问题例 2, 男运动员 6 名，女运动员4 名，其中男女队长各1 人. 选派 5 人外出比赛 . 在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3 名，女运动员2 名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员. 考点三 : 综合问题例 3, 4个不同的球， 4 个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？（3）恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？10.1.5当堂测试1，从 5 名男医生、 4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A，70 种 B，80 种 C，100 种 D，140 种2，2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A, 48 种 B，12 种 C，18 种 D36种3，从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A,48 B, 12 C，180 D，162 . 4，甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有6 名男同学， 2 名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（）A，150 种 B，180 种 C，300 种 D，345种5，甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法共有（）A，6 B，12 C 30 D36 6，用 0 到 9 这 10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B，328 C，360 D，648 7，从 10 名大学毕业生中选3 人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（）A，85 B，56 C，49 D，28 8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A，18 B，24 C，30 D，30 9，3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A，360 B，288 C，216 D，96 10.1.6 参考答案例 1, 解（1）方法一要使甲不站在两端，可先让甲在中间4 个位置上任选1 个，有 A14种站法，然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有A55种站法，根据分步乘法计数原理， 共有站法：A14· A55=480 （种） . 方法二由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5 个人中选 2 个人站，有A2 5种站法，然后中间4 人有 A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A25·A4 4=480（种） . 方法三若对甲没有限制条件共有A6 6种站法，甲在两端共有2A5 5种站法， 从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法： A6 6-2A5 5=480（种） . （2）方法一先把甲、 乙作为一个 “整体”，看作一个人， 和其余 4 人进行全排列有A55种站法， 再把甲、乙进行全排列，有A2 2种站法，根据分步乘法计数原理，共有A55·A22=240（种）站法 . 方法二先把甲、乙以外的4 个人作全排列，有A4 4种站法，再在5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有 A15种方法，最后让甲、乙全排列，有A22种方法，共有A4 4·A15·A2 2=240（种） . （3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4 个人站队，有A4 4种站法；第二步再将甲、 乙排在 4 人形成的5 个空档（含两端）中，有 A2 5种站法，故共有站法为A44· A2 5=480（种） . 也可用“间接法” ，6 个人全排列有A6 6种站法，由（ 2）知甲、乙相邻有A55·A22=240 种站法，所以不相邻的站法有A6 6-A5 5·A2 2=720-240=480 （种） . （4）方法一先将甲、乙以外的4 个人作全排列，有A44种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A22种，故共有 A44· （3A22）=144（种）站法 . 方法二先从甲、乙以外的4 个人中任选2 人排在甲、乙之间的两个位置上，有A2 4种，然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下2 人作全排列有A33种方法，最后对甲、乙进行排列，有A22种方法，故共有A2 4·A3 3·A2 2=144（种）站法 . （5）方法一首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A2 2种，再让其他4 人在中间位置作全排列，有A4 4种，根据分步乘法计数原理，共有A22·A4 4=48（种）站法 . 方法二首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4 个位置，由剩下的4人去站，有A44种站法，由分步乘法计数原理共有A22·A4 4=48（种）站法 . （6） 方法一甲在左端的站法有A5 5种，乙在右端的站法有A5 5种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，共有 A6 6-2A5 5+A44=504（种）站法 . 方法二以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A5 5种站法， ②甲在中间4 个位置之一， 而乙不在右端有 A14·A14·A4 4种，故共有A55+A1 4·A14·A44=504（种）站法 . 例 2, 解（1）第一步：选3 名男运动员，有C36种选法 . 第二步：选2 名女运动员，有C24种选法 . 共有 C3 6·C24=120 种选法 . 3分（2）方法一至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男， 2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男. 由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46+C24C3 6+C3 4C2 6+C44C16=246 种. 6 分方法二“至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解. 从 10 人中任选 5 人有 C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种. 所以“至少有1 名女运动员”的选法为C510-C5 6=246 种. 6 分（3）方法一可分类求解：“只有男队长”的选法为C48；“只有女队长”的选法为C48；“男、女队长都入选”的选法为C3 8；所以共有 2C4 8+C38=196 种选法 . 9 分方法二间接法：从 10 人中任选 5 人有 C510种选法 . 其中不选队长的方法有C58种. 所以“至少1 名队长”的选法为C510-C5 8=196 种. 9 分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法 . 不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法 . 其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有C48-C4 5种选法 . 所以既有队长又有女运动员的选法共有C49+C48-C4 5=191 种. 例 3,解（1）为保证“恰有1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4 个球， 3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4 个球分成 2，1，1 的三组，然后再从3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒子内， 由分步乘法计数原理，共有 C14C24C13×A2 2=144种. （2） “恰有 1 个盒内有 2 个球” ，即另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放1 个球，也即另外3 个盒子中恰有一个空盒，因此， “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有1 个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法 . （3）确定 2 个空盒有 C24种方法 . 4 个球放进 2 个盒子可分成（ 3，1） 、 （2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A2 2种方法；第二类有序均匀分组有 2 22 22 4ACC·A2 2种方法 . 故共有 C24( C3 4C11A22+2 22 22 4ACC·A2 2）=84 种. 当堂检测答案1，从 5 名男医生、 4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A，70 种 B，80 种 C，100 种 D，140 种解析：分为 2 男 1 女，和 1 男 2 女。