第2022-2022学年第1学期A卷答案及评分标准.docx

第2022-2022学年第1学期A卷答案及评分标准 济南大学2022~2022学年第一学期 课程考试试卷评分标准（含参考答案） 课程名称：电动力学(A 卷) 任课教师：梁志霞，金毅 一、选择题（每小题3分，共15分） 1、定态波也称为时谐波，是描述（A ）一定的电磁波 A). 频率 B). 速度 C). 相位 D). 方向 2、洛仑兹规范下，电磁场矢势和标势的微分方程是（B ） A). 亥姆霍兹方程 B). 达朗贝尔方程 C). 泊松方程 D). 拉普拉斯方程 3、在稳恒电路中，供给负载消耗的电磁能量是通过（C ）传递给负载的 A). 导线内的电子运动 B). 导线内的电场 C). 导线周围的电磁场 D). 稳压电源 4、关于电磁波在导体内的穿透深度，以下正确的是（C ） A). 与电磁波频率无关 B). 入射时间越长，穿透深度越大 C). 电磁波频率越高，穿透深度越小 D). 电磁波频率越高，穿透深度越大 5、取电偶极子方向为z 轴正向，则电偶极辐射随极角θ分布的特点是（D ） A). 各方向辐射均匀，与θ无关 B). 0度方向辐射最大 C). 180度方向辐射最大 D). 90度方向辐射最大 二、填空题（每空3分，共30分） 1、电荷守恒定律的微分形式为 0J t ???+ =?ρ 。

2、均匀线性介质中电磁场的能量密度w 的表达式为 22 00111()()22w E D H B E B εμ=?+?=+或 3、导电媒质内电磁波的波矢为k i βα=+，其中β的意义是 传播（辐射、相位）常数，描述波在导电媒质内传播的相位关系和传播方向；α的物理意义是 衰减常数，描述波振幅在导电媒质内的衰减程度 4、洛仑兹规范的表达式为210A c t ? ???+ =?，库仑规范的表达式为0A ??= 5、对于0.8cm ×0.4 cm 的矩形波导管，其最大截止波长为 1.6 cm 6、相对论电动力学中，四维势的形式为A μ =(,)i A c ? 7、狭义相对论的两条基本原理为 相对性原理 和 光速不变原理（间隔不变性） 三、简答题（每小题5分，共15分） 1、写出电磁场矢势和标势的规范变换式，并说明什么是规范不变性 答：A A A t ψψ????'→=+????'→=- ??? ————3分 用势来描述电磁场，客观规律应与势的规范选择无关，这就是规范不变性，即当势作规范变换时，所有物理量和物理规律都应该保持不变 的一种不变性。

————2分 2、写出相对论四维时空结构中间隔的定义式，并说明间隔有哪三种类型 答： 222212 222()S c c r t t r t ==---or （差一负号亦算对） ————2分 类光间隔、类时间隔、类空间隔 ————3分 3、写出一般形式的电磁场量D 、E 、B 、H 的边值关系，以及洛仑兹力密度表达式 答： 21021021212121210 2 ?()?()0?()0?()n n n n t t n D D S f E J B E v D D n B B B B n E E E B T t c E n H H ρρρσσα??-=-=???-==?? ?-==???-?=?+?=?+?=-=????- ?或或或或————每式1分 四、证明题（1、2小题中选作一个即可7分） 1、用边值关系证明：性绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线 总是垂直于导体表面提示：考虑D 、E 的边值关系） 证：根据 2102102121?()?()0n n t t n D D D D n E E E E σσ??-=-=???-==??或或，由导体内静电平衡时场量D 、E 为0，得 介质2与导体1的边值关系0??0n D n E σ??=???=?? （1）式 其中n 为界面法线单位矢量，D 、E 为介质2中的场量。

————5分 根据线性介质性质=D E ε，（1）式化为 00?00?0 n t E n D E n E εσσ?=≠?=?????=?=???，导体外的电场只有法线方向分量， 即总是垂直于导体表面 ————2分 2、无自由电流时，用边值关系证明μ → ∞ 的磁性介质外的磁场强度 与交界面处处垂直提示：如右图，考虑B 、H 的边值关系） 证：磁介质边界条件 21212121 ()0()0n n t t n B B B B n H H H H ?-=?=?-=?= 由线性磁介质性质 2021 , B H B H μμ== 可得法向和切向分量为： 02121 (1), (2) n n t t H H H H μ=μ= ————4分 (2)/(1)? 21210021210t t t t n n n n H H H H H H H H μμ→∞ =?=????→?μμμ H 2与表面垂直 ————3分 五、综合题（第1题15分，第2题10分，第3题8分，共33分） 1、空心导体球壳的内、外半径为R 1 和R 2，球心处 沿Z 方向置一电偶极子P ，球壳带电Q ，求空间电势。

解：电场有轴对称性自由电荷分布有限，设无穷远 处电势为0整个区域分为2部分：球壳内I ，壳外 空间II 壳外电势?2满足拉普拉斯方程；壳内心 有自由电偶极子，因此电势?1满足泊松方程而非 拉普拉斯方程球壳为等势体，设电势为?0以球壳球心为原点建立球坐标应用叠加法 已知自由电偶极子P 在真空中产生的电势即泊松方程的特解 32 00cos 44P P r P r r ?θπεπε?= = 电势?1、?2的通解： 2 10 01 cos ()(cos )4()(cos )n n I P I n n n n n n II n n n n b P a r P r r d c r P r ∞ +=∞ +='=+= ++=+∑∑???θθπε?θ 介质1 μ 介质2 μ0 … ………………………………………装………………………… P R 1 R 2 无穷远处电势为0，边界条件为 2112022) , (0) 2) 0, () 3) ()() 4)I II I II II I R R r r R R Q dS dS r r '=?? =→∞?? ==?????-+= ???? ??有限???????ε ————8分 确定通解中的待定系数： 由边值关系1）?0,(0)n b n = =∞；由边值关系2）?0,(0)n c n = =∞ ————2分 由边值关系3）得 00 10323 01001 0:cos 1:cos 4441:0 I n n a P P Pr n a R r R n a ?==? ? ==-?=+-?? ?>=? ?θ?θ?πεπεπε；0020210:1:01:0II n n d R R n d r n d ==??==?=??>=???? 由边值关系4）002 4Q R ?= ?πε ————4分 最后得球壳内外的电势?1、?2 2333 02 0010210cos cos 1();44444I II Q P Pr Q P r P r Q R r R R r R r ??= + -=+-=θθ??πεπεπεπεπε ————1分 2、两块互相垂直的接地半无限大金属平板，以及球心在O 点，半径为R 0的部分金属球面，把空间分成两个区域，有一电量为Q 的电荷置于点P(a , a )，写出用镜像法求空间电势时，所放置的像电荷的位置和电量。

解：放置的像电荷的位置和电量如图 ————7分 其中，2 02R b a Q ?=????'=-?? ————3分 若回答 2 00 R b a R Q Q a ?=????'=-?? 可得2分 3、在惯性系S 中，某事件A 发生在 x 1 处，2.0×10-6s 后，另一事件B 发生在 x 2 处，已知x 2 - x 1 = 300m 另有一惯性系S ’以速率υ 相对于S 系沿x 轴正向匀速运动，且在t = t ’ = 0时，这两个惯性系坐标的原 点重合c = 3×108 m/s ） 1）当速率υ 为多少时，在S ’系中看到这两个事件A 与B 发生在同一地点？ 2）根据上问中求出的速率υ，计算在S ’系中上述两个事件A 与B 的时间间隔 解：1）在S’系中，两个事件若发生在同一地点，根据洛仑兹变换 111222212121(),()()()0x x vt x x vt x x x x v t t γγγ''''=-=-?-=---=???? （1）式 其中, v c βγ== = 由已知条件 62121210,300, 2.010 -''-=-=-=?x x x x t t 代入（1）式，得 821 21 1.5010/0.50-= =?=-x x v m s c t t ————4分 2）根据洛仑兹逆变换，在S’系中，上述两个事件的时间间隔 11 1 222212121(),()()()t t x t t x t t t t t x x c c c β β βγγγ?? ''''''''=+=+??=-=-+-???? （2）式 由已知条件 6 21210, 2. 010,0.50 -''-=-=?=x x t t v c 代入（2）式，得 662 121(10 1.7310t t t t s s --''-=-=? 或根据洛仑兹变换，在S’系中，上述两个事件的时间间隔 1 112 222 。