杆系结构静力分析的有限单元法.pptx

1,3.1 结构离散与向量表示,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,3.2 位移函数及单元的刚度矩阵,3.3 坐标变换及单元刚度矩阵,3.4 整体刚度矩阵,3.5 约束处理及求解,3.6 计算示例,3.7 ANSYS桁架结构计算示例,3.8ANSYS刚架结构计算示例,2,3.1 结构离散与向量表示,工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以归结为杆系结构杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构杆系结构可以由杆单元、梁单元组成a) Liebherr塔式起重机 (b) Liebherr履带式起重机,(c) 钢结构桥梁 (d) 埃菲尔铁塔 图3-1 杆系结构,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,3,3.1.1 结构离散化,由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段( 一根杆又分为几个单元 )作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点 杆系结构的离散化的要点可参考如下：a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。

这些结点都是根据结构本身特点来确定的b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元 变换为作用在结点上的等效结点载荷第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,4,c. 变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算d. 对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个单元如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点 e. 在有限元法计算中，载荷作用到结点上当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,(a) 结点载荷处理方式 (b) 等效结点载荷处理方式 图3-2杆系结构离散化示意图,5,,3.1.2 坐标系,图3-3 坐标系示意图,为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,6,3.1.3 向量表示,在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。

对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量刚架结构示意图 (b) 结点位移和结点力分向量图3-4 平面刚架分析示意图,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,7,结点位移列向量为,单元e结点位移列向量为,结点力向量为,,单元e结点力列向量为,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,8,3.2 位移函数及单元的刚度矩阵,3.2.1 轴向拉压杆单元的位移的函数,有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求:a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数它的阶数至少包含常数项和一次项至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,9,,,由单元结点位移，确定待定系数项当 时，当 时，所以用结点位移表示其中、 分别表示当 ， 时； ， 时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。

第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性10,3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数 梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分量 ， ， ， ，由材料力学知,各截面的转角: 故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数 ， ， ， 的多项式 单元结点位移条件当 时 ， 当 时 ，,,,,,,,,,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,11,,,,称为形函数矩阵第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,12,3.2.3 单元的应力应变 在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同轴向应变为弯曲应变为y为梁单元任意截面上任意点至中性轴 (x轴)的距离得出平面刚架单元应变,,,图3-5 弯曲应变计算示意图,,,则,,——平面刚架梁单元的应变转换矩阵。

第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,13,3.2.4 平面刚架梁单元的刚度矩阵 梁单元的i，j结点发生虚位移为,,单元内相应的虚应变应为,,由虚功原理有,由于结点虚位移 的任意性，故上式可写成,上式称为局部坐标下的平面刚架单元的刚度方程，简称为单刚第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,14,横截面积A 横截面对形心轴z的静矩S 横截面对主惯性轴z的惯性矩I 得到四个3 3子块所组成的局部坐标系下的平面刚架梁单元的单元刚度矩阵第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,15,平面桁架的单元刚度矩阵为,,空间桁架单元每个结点有3个位移分量，其单元结点位移列向量,,空间桁架局部坐标下的单元刚度矩阵是6×6的,,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,16,空间刚架单元每个结点有6个位移分量，其单元结点位移列向量,,空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是12×12的a) 杆单元i端产生单位位移 (b) 杆单元j端产生单位位移 图3-6 平面桁架单元刚度系数的物理意义,(a) 梁单元i端产生单位位移 (b) 梁单元j端产生单位位移,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,17,3.3 坐标变换及单元刚度矩阵,3.3.1 坐标变换在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量 可分别表示成,,,,,(a) 向量转换分析 (b) 向量转换 图3-8 向量转换示意图,,,,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,18,,对于梁单元如图3-8(b)所示，则有,,可简写为,,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,19,同理,,式中 ——平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵。

3.3.2 整体坐标系下的单元刚度矩阵,,式中 ——整体坐标下的单元刚度矩阵和 一样， 为对称阵、奇异阵第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,20,3.4 整体刚度矩阵,3.4.1 整体刚度矩阵的建立整体刚度矩阵也称之为结构刚度矩阵或总体刚度 矩阵，简称总刚 整体刚度矩阵的求解是建立在结构 平衡条件的基础之上， 因此研究对象以整体坐标系为 依据图3-9 载荷向量示意图,如右图所示刚架结构，其结点载荷列向量分别为,,,,,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,21,结构载荷列向量,结点位移列向量,,,,,,建立结点平衡条件方程式如右表第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,22,用分块矩阵的形式，建立杆端内力与结点位移的关系式第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,23,,,,,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,24,,,,,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,25,单元刚度矩阵由2×2的子矩阵组成， 每个子矩阵是3×3的方阵 的上角标表示单元编号，下角标表示单元j端单位位移所引起的i端相应力将杆端内力与结点位移关系式代入结点的平衡条件方程式中，经整理得：,,简写为,称之为结构原始平衡方程。

其中,,为整体刚度矩 阵第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,26,3.4.2 整体刚度矩阵的集成 整体刚度矩阵是由在整体坐标系下，矩阵按照结点编号的顺序组成的行和列的原则，将全部单元刚度矩阵扩展成n×n方阵后对号入座叠加得到对于单元1,,对于单元2,,对于单元3,,单元刚度矩阵集成得出整体刚度矩阵,,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,27,3.4.3 整体刚度矩阵的性质 整体刚度矩阵 中位于主对角线上的子块 ，称为主子块，其余 为副子块a. 中主子块 由结点i的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得，即b. 当结点i、 j为单元e的相关结点时， 中副子块 为该单元e相应的副子块，即 c. 当结点i、 j为非相关结点时， 中副子块 为零子块，即 d. 仅与各单元的几何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有关e. 为对称方阵，f. 为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,28,,g. 为稀疏矩阵，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与结点编号有关，非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内，称为带状分布规律，见图3-10(a)。

在包括对角线元素在内的区域中，每行所具有的元素个数叫做把半带宽，以d表示 最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加 1 与结点自由度数的乘积，结点号差越大半带宽也就越大计算机以半带宽方式存储，见图3-10(b)半带宽越窄，计算机的存储量就越少，而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数其效果对大型结构显得尤为突出图3-10 整体刚度矩阵存储方法 h. 整体刚度矩阵稀疏阵 故整体刚度矩阵不能求逆，必须作约束处理方能正确地将结点位移求出，进而求出结构的应力场a) 带状分布规律,(b) 带状存储,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,29,3.5 约束处理及求解,3.5.1 约束处理的必要性建立结构原始平衡方程式 时，并未考虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解可以参照第 2 章的原则，结合实际工程结构引入支承条件，即对结构原始平衡方程式 做约束处理约束处理后的方程称为基本平衡方程统一记为,,3.5.2 约束处理方法 约束处理常用方法有填0置1法和乘大数法。

采用这两种方法不会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及带状分布等特性第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,30,,,下面以图3-11所示刚架结构为例，解释如何进行约束处理对于下图所示刚架结构,设结点位移列向量为 设结点载荷列向量为,,,,固定支座 (b) 支座强迫位移已知 图3-11 结构约束,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,31,其原始平衡方程式为,,按照每个结点的位移分量将上式展开为,,第三章 杆系结构静力分析的有限单元法,32,对于如图3-11(a)所示，结构约束（支座）位移全部为零，此时做约束处理时，采用填0置1法比较适宜对于如图3-11(b)所示，某约束（支座）位移为给定的强迫值，此时做约束处理时，采用乘大数法比较适宜1) 填0置1法 如右图所示结点1、3处为固定支座，可知将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成1， 相应行和列上的其它元素均改为0 同时，所在同一行上的载荷分量替换成0，则有,。