金融数学第二章均值方差资产选择模型.ppt

Ø均值均值-方差准则方差准则 第二章 均值-方差资产选择模型Ø组合投资理论概述组合投资理论概述Ø最优组合系数最优组合系数 Ø最小方差集最小方差集 1第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 第一节第一节 均值均值-方差准则方差准则 u 均值-方差准则 假定投资者均为风险厌恶型假定投资者均为风险厌恶型,在具有相同的期望收益率的诸多投资机会中，在具有相同的期望收益率的诸多投资机会中，总是选择收益率方差最小的投资机会；或者在具有相同的收益率方差的诸种总是选择收益率方差最小的投资机会；或者在具有相同的收益率方差的诸种投资机会中，总是选择期望收益率最大的投资机会投资机会中，总是选择期望收益率最大的投资机会l M-V准则准则 2第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 l M-LPV准则准则 3在某些条件下期望在某些条件下期望-方差准则与随机占优准则是等价的方差准则与随机占优准则是等价的l M-V准则与准则与SSD准则的等价关系准则的等价关系u均值-方差准则与随机占优准则的关系 证明证明 第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 4即 于是有 第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 5 第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 6 第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 7 第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 8 第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 l M-LPV则与则与TSD准则的等价关系准则的等价关系定理定理2.2 对于绝对风险厌恶递减型投资者而言，对于绝对风险厌恶递减型投资者而言， M-LPV准则与准则与TSD准则等价。

准则等价 值得注意的是，均值值得注意的是，均值-方差准则的基本思想是以投资收益率的方差来作为方差准则的基本思想是以投资收益率的方差来作为投资风险的度量，这正是大多数主流经济学家所认同的投资风险的度量，这正是大多数主流经济学家所认同的,因此在本书后续的章因此在本书后续的章节中，均采用这种度量方法节中，均采用这种度量方法.9第二节第二节 组合投资理论概述组合投资理论概述第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 u组合向量10第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 解解 于是该投资的组合向量为 11第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 u 证券组合收益率期望与方差 12第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 投资组合的期望收益率介于两种证券之间，但是风险却比两种证券都要低投资组合的期望收益率介于两种证券之间，但是风险却比两种证券都要低这个简单的例子也说明了这个简单的例子也说明了“不要将所有的鸡蛋放入同一个篮子不要将所有的鸡蛋放入同一个篮子”的原因13第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 u 市场证券组合 市场证券组合市场证券组合(Market Portfolio)的概念是的概念是Fama于于1968年提出来的，它是年提出来的，它是指包括市场上每一种证券的总的组合，其中每种证券的组合权重等于该种证券指包括市场上每一种证券的总的组合，其中每种证券的组合权重等于该种证券在市场交易中尚未清算部分的价值在市场上全部证券的总价值所占的比例。

从在市场交易中尚未清算部分的价值在市场上全部证券的总价值所占的比例从理论上讲，市场证券组合是风险性证券的理想证券组合，每个理论上讲，市场证券组合是风险性证券的理想证券组合，每个“具有高度理性具有高度理性”的投资者都按一定的比例持有它的投资者都按一定的比例持有它 如假设股票市场只有如假设股票市场只有A和和B两种股票构成，且股票两种股票构成，且股票A的均衡市场价格为的均衡市场价格为400万万美元，股票美元，股票B的均衡市场价格为的均衡市场价格为600万美元，则显然任何万美元，则显然任何“具有高度理性具有高度理性”的投资者的投资者都会按照都会按照 2：：3的比例投资的比例投资A股和股和B股 市场证券组合是一个理论上的抽象概念，现实生活中并不存在通常的做法市场证券组合是一个理论上的抽象概念，现实生活中并不存在通常的做法是选取一些覆盖面较大的股票价格指数来代表它如美国标准普尔是选取一些覆盖面较大的股票价格指数来代表它如美国标准普尔500股指数和股指数和道琼斯价格指数等道琼斯价格指数等14第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 u投资组合线 l 两证券的投资组合线两证券的投资组合线 15第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 可以得到以下来看几种特殊情况以下来看几种特殊情况投资组合为双曲线。

16第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 即 进一步的，在坐标系下，即为直线 它们是从点向右发射，斜率为的两条射线17第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 和 18第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 19第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 由图，至少可以得到两点结论：由图，至少可以得到两点结论：（（1）投资组合线均通过）投资组合线均通过A和和B两点，且两点，且20第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 21第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 l 含债券和股票的两证券投资组合线含债券和股票的两证券投资组合线 此此时时，，证证券券组组合的收益率合的收益率为为 相相应应的收益率期望和方差分的收益率期望和方差分别为别为即即 代入期望收益率的等式中，得到该投资组合线为代入期望收益率的等式中，得到该投资组合线为22第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 组组合合线线是一条如是一条如图图所示的射所示的射线线O B23第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 l 两种以上证券的投资组合线两种以上证券的投资组合线24第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 25第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 l 分散投资分散投资 分散投资就是投资者将资金有选择的投放到很多彼此间相关程度很低分散投资就是投资者将资金有选择的投放到很多彼此间相关程度很低的高质量（收益高、风险小）的证券上的一种投资方式。

的高质量（收益高、风险小）的证券上的一种投资方式即 即 26第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 理论上，只要证券的种类数非常大，投资组合的风险就可以完全消除然而，理论上，只要证券的种类数非常大，投资组合的风险就可以完全消除然而，事实并非如此美国学者事实并非如此美国学者Home根据多人的实验，绘制了一条反映投资组合风险与根据多人的实验，绘制了一条反映投资组合风险与其包含证券种类关系的曲线，如图所示其包含证券种类关系的曲线，如图所示 组合的风险＝系统风险＋非系统风险组合的风险＝系统风险＋非系统风险 随着证券种类数的增多非系统性风险可以逐渐减少，甚至是消除，但是系随着证券种类数的增多非系统性风险可以逐渐减少，甚至是消除，但是系统风险却不可消除统风险却不可消除 人们多次试验的结果一般认为：一个较好的组合至少应包含人们多次试验的结果一般认为：一个较好的组合至少应包含10种证券，以种证券，以15种为好 27第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 第第三三节节 最优组合系数最优组合系数u背景知识 问题：在不考虑收益的情况下要求投资组合的风险最小，即具有最小问题：在不考虑收益的情况下要求投资组合的风险最小，即具有最小风险的组合风险的组合(最优组合最优组合)的组合向量求解问题。

的组合向量求解问题 即即 即即 28第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 u最优组合系数的建模和求解 这是一个条件极值问题，可以用这是一个条件极值问题，可以用Lagrange方法来求解构造方法来求解构造Lagrange函数：函数： 可以得到可以得到解得解得 进而进而 29第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 由由即即30第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 证券组合收益率的协方差矩阵为证券组合收益率的协方差矩阵为解解因此因此于是最于是最优组优组合系数合系数为为相相应应的的组组合收益率合收益率标标准差准差为为31第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 值得注意的是，投资组合的风险是不能无限减少的，它有个下限，根据值得注意的是，投资组合的风险是不能无限减少的，它有个下限，根据 可以得到以下推论：可以得到以下推论：32第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 u不允许卖空条件下的最优组合系数 在不允许卖空条件下最优组合系数的求解模型变成如下形式在不允许卖空条件下最优组合系数的求解模型变成如下形式 讨论讨论N=2的情形的情形 于是于是33第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 由于由于 故要故要，需要，需要即即成立。

成立合起来即合起来即 分三种情况讨论：分三种情况讨论： 则则 于是于是 34第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 此时该组合收益率的标准差是以风险较小的证券此时该组合收益率的标准差是以风险较小的证券(证券证券2)的标准差为下限的的标准差为下限的 35第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 对应的投资组合最小风险为对应的投资组合最小风险为综合（综合（1）（）（2）（）（3）的讨论，当）的讨论，当N=2时，最优投资组合系数为时，最优投资组合系数为36第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 第第四四节节 最小方差集最小方差集 考察在既定收益的情况下，最小方差的投资组合，和在方差给定的情况下，考察在既定收益的情况下，最小方差的投资组合，和在方差给定的情况下，具有最大期望收益率的投资组合，如此就产生了最小方差集具有最大期望收益率的投资组合，如此就产生了最小方差集 u最小方差集的导出 l 最小方差集的定义最小方差集的定义 l 最小方差集的建模与求解最小方差集的建模与求解37第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 构造构造Lagrange函数函数 由由Lagrange条件极条件极值值定理有定理有求解（求解（2）式，可得）式，可得由（由（3）（）（4）式，可知）式，可知将（将（5）式代入到（）式代入到（6）式得）式得代入（代入（7）式，得到）式，得到代入代入(5)式，可得式，可得相应的最小方差为相应的最小方差为38第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 u最小方差集的性质 39第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 我们发现有效组合抛物线顶点我们发现有效组合抛物线顶点G点之上的部分，它是（点之上的部分，它是（1）式的对偶问题的解：）式的对偶问题的解： 当给定某一方差水平时，在对应这个方差水平的诸多投资组合中具当给定某一方差水平时，在对应这个方差水平的诸多投资组合中具有最大期望收益率的组合，我们通常称这样的组合为有效组合。

有最大期望收益率的组合，我们通常称这样的组合为有效组合 解得解得 最小方差集中方差最小的组合称为绝对最小方差组合最小方差集中方差最小的组合称为绝对最小方差组合,即为图中的即为图中的G点且容易容易得到在得到在G点点 证明证明因此因此 40第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 性质性质3 （两基金定理）每一个有效组合的系数向量均可以表示成其他两个均（两基金定理）每一个有效组合的系数向量均可以表示成其他两个均值不一样的有效组合的系数向量的线性组合值不一样的有效组合的系数向量的线性组合证明证明 有效组合系数向量可以表示成有效组合系数向量可以表示成不妨设不妨设 显然显然B矩阵为一常数矩阵矩阵为一常数矩阵则有则有于是于是41第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 两基金定理的重要性在于，只要找到两个有效组合，就可以找到所有的有效组合两基金定理的重要性在于，只要找到两个有效组合，就可以找到所有的有效组合3）利用两基金定理，找到所有的有效组合）利用两基金定理，找到所有的有效组合 42第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 u含有无风险资产的有效组合 曲线段曲线段GSL是原来是原来N种风险资产投资组合最小方种风险资产投资组合最小方差集的上侧部分，差集的上侧部分，G点代表绝对最小方差组合。

点代表绝对最小方差组合 于是，新的有效组合曲线就由三个部分组成：于是，新的有效组合曲线就由三个部分组成：43第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 于是，含无风险资产的有效组合的均值的表达式为于是，含无风险资产的有效组合的均值的表达式为 其中点其中点S和和L的坐标有下式给出的坐标有下式给出44第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 考考虑虑一种特殊的情形，就是一种特殊的情形，就是贷贷款利率与存款利率相同，那么上款利率与存款利率相同，那么上图图中的中的S和和L点重合，点重合，此此时时的有效的有效组组合合图图形形为为：： 直线直线iME称为称为资本市场线资本市场线（（Capital Market Line，简称，简称CML ），它的方程为：），它的方程为： M点就是前面我们所提到的市场证券组合，它是基于市场上所有具有相同收益点就是前面我们所提到的市场证券组合，它是基于市场上所有具有相同收益-风险权衡关系的投资者的选择综合而成，或者说投资者持有的风险证券的组合系数均风险权衡关系的投资者的选择综合而成，或者说投资者持有的风险证券的组合系数均一样，当然市场证券组合也是有效组合。

一样，当然市场证券组合也是有效组合 资本市场线上，投资者仅仅面临两种投资机会：无风险资产投资和市场证券组合投资资本市场线上，投资者仅仅面临两种投资机会：无风险资产投资和市场证券组合投资 若投资者是极度的风险厌恶者，他可以存款相当多，而对市场证券组合投资非常若投资者是极度的风险厌恶者，他可以存款相当多，而对市场证券组合投资非常少（注意组合系数保持不变），即少（注意组合系数保持不变），即A点沿直线向左下移动；点沿直线向左下移动； 若他的风险厌恶程度比较小，那么他可以选择向市场证券组合投资多一点，而存若他的风险厌恶程度比较小，那么他可以选择向市场证券组合投资多一点，而存款相对少一点，即款相对少一点，即A点沿直线向右上移动；点沿直线向右上移动； 若投资者为了获取高收益，而不在乎高风险的话，它可以越过若投资者为了获取高收益，而不在乎高风险的话，它可以越过M点，如选择点，如选择E点进点进行投资，此时他以利率行投资，此时他以利率r向银行贷款，然后连同原有资本一起投资市场证券组合向银行贷款，然后连同原有资本一起投资市场证券组合45第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 【本章要点】【本章要点】n均值均值-方差准则方差准则n均值均值-方差准则与随机占优准则的关系方差准则与随机占优准则的关系n市场证券组合市场证券组合n两证券投资组合线的推导以及特征两证券投资组合线的推导以及特征n含有一种债券和一种普通股的组合的组合线含有一种债券和一种普通股的组合的组合线n用优化问题求解最优组合系数用优化问题求解最优组合系数n最小方差集的建模与求解最小方差集的建模与求解n最小方差集的性质最小方差集的性质46第二章第二章 均值方差资产选择模型均值方差资产选择模型 【本章练习题】【本章练习题】47。