抛物线的焦点弦性质课堂PPT.ppt

二、抛物线的焦点弦性质二、抛物线的焦点弦性质例例1.过抛物线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和的焦点的一条直线和抛物线相交抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为θ,则则|AB|=2p/sin2 θ(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.(6)焦点焦点F对对A、、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90oxOyABFθ1xOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2p2AXyOFBl lA1M1B1M过抛物线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、、B(x2,y2),则则(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.故以故以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.3XyFAOBA1B1过抛物线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、、B(x2,y2),则则(6)焦点焦点F对对A、、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。

1234564过抛物线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 证明：思路分析：韦达定理证明：思路分析：韦达定理xOyABF5xOyABF6F过抛物线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 法法3：利用性质焦点：利用性质焦点F对对A、、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90° 7代入抛物线得代入抛物线得y2－２ｐ－２ｐmｙ－２ｐｙ－２ｐs＝０，＝０，练习练习 (1).若直线过定点若直线过定点M(s,0)(s>0)与抛物线与抛物线y2=2px(p>0)交于交于A(x1,y1)、、B(x2,y2),求证求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设证明：设AB 的方程为的方程为ｘｘ=mｙ＋ｙ＋s　（　（m∈ ∈Ｒ）Ｒ） (2). 若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于交于A(x1,y1)、、B(x2,y2),且有且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点求证：直线过定点 (s,0)(s>0)证明证明：lyy2=2pxAMxB8过抛物线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、、B(x2,y2),则则(4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为θ,则则|AB|=2p/sin2 θxOyABFθ证明证明: 思路分析思路分析|AB|=|AF|+|BF|= 思考：焦点弦何时最短？思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短过焦点的所有弦中，通径最短9xOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、、B(x2,y2),则则10例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的焦点F的一条直线和的一条直线和抛物线相交于抛物线相交于A(x1,y1)、、B(x2,y2),(1)AO交准线于交准线于C,则直线则直线CB平行于抛线的对称轴平行于抛线的对称轴.xyFABCO11例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的焦点F的一条直线和的一条直线和抛物线相交于抛物线相交于A(x1,y1)、、B(x2,y2),(2)过过B作作BC⊥⊥准线准线l,垂足为垂足为C,则则AC过原点过原点O共线共线. (2001年高考题年高考题)xyFABCO12例例3.3. A、、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的上的两点，且两点，且OA⊥⊥OB，， 1. 求求A、、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积； 2. 求证：直线求证：直线AB过定点；过定点； 3. 求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程； 4. 求求△△AOB面积的最小值；面积的最小值； 5. 求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题二、抛物线中的直角三角形问题13例例3.3. A、、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且上的两点，且OA⊥⊥OB，， (1) 求求A、、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积；[ [解答解答] ] (1)设设A(x1, y1)，，B(x2, y2)，中点，中点P(x0, y0)，， ∵∵ OA⊥⊥OB ∴∴ kOAkOB=-1，，∴∴ x1x2+y1y2=0∵∵ y12 = 2px1，，y22 = 2px2 ∵∵ y1≠0, y2≠0, ∴∴ y1y2= 4p2 ∴∴ x1x2=4p2.14例例3.3. A、、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且上的两点，且OA⊥⊥OB，，(2) 求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；[解答解答](2)∵∵ y12=2px1，，y22=2px2∴∴ (y1 y2)(y1+y2) = 2p(x1 x2)∴∴ AB过定点过定点T(2p, 0).15同理，同理， 以代以代k得得B(2pk2, -2pk) .例例3.3. A、、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且上的两点，且OA⊥⊥OB，， (3) 求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程； 即即 y02 = px0-2p2，，∴∴ 中点中点M轨迹方程轨迹方程 y2 = px-2p2(3)设设OA∶ ∶y = kx，代入，代入y2=2px 得得: k 0，， 16(4)当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立. 例例3.3. A、、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且上的两点，且OA⊥⊥OB，，(4)求求△△AOB面积的最小值；面积的最小值；17(5)法一：设法一：设M(x3, y3), 则则 例例3.3. A、、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且上的两点，且OA⊥⊥OB，，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.由由(1)知，知，y1y2=-4p2，， 整理得：整理得：x32+y32 -2px3=0，，∴∴ 点点M轨迹方程为轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉去掉(0, 0)).18 ∴∴ M在以在以OT为直径的圆上为直径的圆上 ∴∴ 点点M轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉去掉 (0, 0). 评注：此类问题要充分利用评注：此类问题要充分利用(2)的结论的结论.∴ ∴ ∠∠OMT=90 , 又又OT为定线段为定线段法二：法二：∵ ∵ AB过定点过定点T(2p, 0).7.7. A、、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且上的两点，且OA⊥⊥OB，，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.19小结：小结： 在求轨迹方程问题中易于出错是对轨在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。

因此，在迹方程纯粹性及完备性的忽略因此，在求出曲线方程之后而仔细检查有无求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法分不法分子子”掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无注意有无“漏网之鱼漏网之鱼”“逍遥法外逍遥法外”，应将其，应将其找回。