工程力学第2版) 教学课件 作者 禹加宽 第十章.ppt

第10章 应力状态 强度理论 组合变形,10.1 应力状态的概念 10.2 平面应力状态分析 10.3 强度理论 10.4 组合变形的强度计算 小 结,返回,10.1 应力状态的概念,下一页,返回,10.1.1 一点的应力状态 分析横截面上的应力对解决强度问题是必要的，为了全面地分析强度问题，仅仅分析横截面上的应力还不够，还必须对各个不同方向的斜面上的应力进行分析 通过物体内某一点不同截面上的应力情况，叫做该点的应力状态10.1 应力状态的概念,下一页,上一页,返回,10.1.2 单元体的概念 为了研究受力构件内某一点的应力状态，假想围绕该点取出一个微小的正六面体——单元体来进行分析因为单元体的边长是非常微小的，所以，可以认为单元体各个面上的应力是均匀分布的，相对平行的平面上的应力大小相等、性质相同若令单元体的边长趋于零，则单元体各不同方向上的应力情况就代表了该点的应力状态 一般情况下，杆件横截面上的应力是可以求得的，因此，在截取单元体时，常以横截面为基础，用一对横截面和相互垂直的两对纵截面，就可以从受力杆件中截取一个各侧面上的应力均为已知的单元体 这些单元体中各侧面上的应力均可通过杆件的外载荷求得，故称为原始单元体。

10.1 应力状态的概念,下一页,上一页,返回,10.1.3 主平面、主应力 单元体中切应力等于零的平面称为主平面作用于主平面上的正应力称为主应力 根据弹性理论可以证明，在受力物体内的任一点处，总可以找到具有三个互相垂直的主平面组成的单元体，称为主单元体相应的三个主应力，一个是最大，一个最小，通常用σ1、σ2、σ3表示，并且规定按它们代数值的大小σ1 ≥σ2 ≥σ3顺序排列上一页,返回,10.1.4 应力状态分类 一向应力状态，一个主应力数值不等于零的应力状态 二向应力状态(平面)：两个主应力数值不等于零的应力状态 三向应力状态(空间)：三个主应力数值都不等于零的应力状态 一向(单向)应力状态也称简单应力状态，二向、三向应力状态也称复杂应力状态10.1 应力状态的概念,10.2 平面应力状态分析,下一页,返回,工程上许多受力构件的危险点都是处于平面应力状态例如，图10-3a所示的单元体，其上面的应力σx、σy、τx、τy 分布在同一个平面内，故称为平面应力状态 10.2.1 斜截面上的应力 图10-3a所示的单元体，设x平面(外法线沿x轴的平面)上的应力σx、τx和y平面上的应力σy、τy 均已知。

由于垂直于z轴的两平面上没有应力作用，即为主平面，该主平面上的主应力为零，因此，该单元体也可用图10-3b的平面状态表示利用截面法可以求出与 x轴正向α角的任意斜截面上的正应力σα和切应力τα,,,,,下一页,上一页,返回,,式(10.1)和(10.2)中，正应力σx、σy以拉应力为正，压应力为负；切应力τx、τy以对单元体内一点产生顺时针转向的力矩时为正，反之为负；角度α以x轴逆时针转到斜截面的外法线n时为正，反之为负10.1),(10.2),10.2 平面应力状态分析,10.2 平面应力状态分析,下一页,上一页,返回,10.2.2 主应力的大小和方向 由式(10.1)和(10.2)可知，斜截面上的正应力σα和剪应力τα随α角的改变而改变，即σα和τα都是α的连续函数对公式(10.1)求导，即可确定极值正应力所在平面的方位令 得 即,,,,,,=,,(10.5),10.2 平面应力状态分析,下一页,上一页,返回,将上式与式(10.2)相比较可知，在切应力τα=0的主平面上，正应力σα取得极值，即极值正应力就是主应力 如果用α0表示主平面的外法线与x轴正向间的夹角，则由式(10.5)可得 (10.6) 式(10.6)可确定主平面的位置α0，因为 tg2α0=tg(2α0+180º)=tg2(α0+90º),,10.2 平面应力状态分析,下一页,上一页,返回,所以α0和α0+90º都满足式(10.6)。

这表明有两个相互垂直的主平面，其上面的主应力分别对应最大和最小极值正应力由式(10.6)求出sin2α0和cos2α0后入(10.1)式中，得两个主平面上的最大和最小正应力为 因为平面应力状态可视为一个主应力为零的三向应力状态，则可根据σmax和σmin代数值的大小，按σ1 ≥σ2 ≥σ3顺序排列，定出三个主应力10.7),10.2 平面应力状态分析,上一页,返回,10.2.3 最大切应力 理论分析证明，在复杂应力状态下，最大切应力与主应力之间存在如下数量关系： 最大切应力τmax的作用面与最大主应力σ1和最小主应力σ3的所在平面的夹角均成45º，与主应力σ2垂直，如图10-5所示10.8),10.3 强 度 理 论,下一页,返回,10.3.1 强度理论的概念 无论是单向应力状态还是复杂应力状态，材料按某种方式的失效(如断裂或屈服)都是由某一特定的因素(如应力、应变或变形能等)引起的，只要导致材料失效的这一因素达到极限值，构件就会破坏这样就可以根据简单应力状态的实验结果来建立复杂应力状态的强度条件关于引起材料失效的决定性因素的各种假说，称为强度理论 在强度理论的指导下，对复杂应力状态进行强度计算时，可把它的三个主应力σ1、σ2、σ3，“折算”成一个与它们相当的单向应力状态的主应力σr，σr就称为所研究的复杂应力状态的相当应力。

10.3 强 度 理 论,下一页,上一页,返回,不同的强度理论因为假设材料破坏的原因不同，所以就有不同的“折算”方法经过“折算”后，就可以用相当应力σr与材料在单向应力状态下的许用应力[σ]相比较，建立起复杂应力状态下的强度条件 σr≤[σ] (10.9) 式(10.9)中的许用应力[σ]，对于脆性材料： ， 对于塑性材料： 10.3 强 度 理 论,下一页,上一页,返回,10.3.2 常用的四种强度理论 由于材料的破坏按其物理实质可分为脆断和屈服两类，因而强度理论也相应分为两类，第一类强度理论以脆断作为破坏标志的，包括最大的拉应力理论和最大拉应变理论；第二类强度理论以屈服作为破坏标志的，包括最大切应力理论和形状改变比能理论 1. 最大拉应力理论(第一强度理论) 这一理论认为：引起材料的脆性断裂的主要因素是最大拉应力10.3 强 度 理 论,下一页,上一页,返回,,,2. 最大拉应变理论(第二强度理论) 这一理论认为：引起材料的脆性断裂的主要因素是最大拉应变 3. 最大切应力理论(第三强度理论) 这一理论认为：引起材料的塑性屈服的主要因素是最大切应力 4.形状改变比能理论(第四强度理论) 这个理论又称为畸变能理论，它认为材料在各种复杂应力作用下，引起塑性屈服的主要原因是形状改变比能达到其单向拉伸时的极限值。

10.3 强 度 理 论,下一页,上一页,返回,10.3.3 四种强度理论的适用范围 材料的失效是一个极其复杂的问题，四种常用的强度理论都有它符合实际的一方面，又有它不符合实际的片面的一方面大量的工程实践和试验结果表明，上述四种强度理论的适用范围与材料的类别和应力状态等有关： (1) 脆性材料通常以断裂形式失效，宜采用第一或第二强度理论 (2) 塑性材料通常以屈服形式失效，宜采用第三或第四强度理论上一页,返回,(3) 在三向拉应力状态下，如果三个拉应力相近，无论是塑性材料或脆性材料都将以断裂形式失效，宜采用第一强度理论—最大拉应力理论 (4) 在三向压缩应力状态下，如果三个压应力相近，无论是塑性材料或脆性材料都可引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论10.3 强 度 理 论,10.4 组合变形的强度计算,下一页,返回,工程上大多数杆件在外力作用下，产生较为复杂的变形，但经分析可知，这些变形均可看成是两种或两种以上的基本变形组合，这种变形称为组合变形 10.4.1 弯曲与拉伸(压缩)组合变形的强度计算 当构件发生的弯曲拉伸(压缩)组合变形时，对于抗压强度等于抗拉强度的塑性材料，为使杆件具有足够的强度，只需按截面上的最大应力进行强度计算，其强度条件为,,≤[σ],(10.14),下一页,上一页,返回,10.4.2 弯曲与扭转组合变形的强度计算 机械中的转轴，通常是在弯曲与扭转组合变形下工作。

现以图10-9a所示的圆轴AB为例，来具体说明弯曲与扭转组合变形的强度计算方法该轴的左端固定，在右端带轮的边缘上受一垂直向下的力F作用，带轮半径为R 首先分析力F对轴AB的作用将力F向圆轴的B截面形心简化，得到一个力和一个力偶矩Me，如图10-9b其值分别为 F´=F Me=FR 力F´使轴在xAy平面内发生弯曲，力偶Me使轴扭转，故轴上产生弯曲与扭转组合变形10.4 组合变形的强度计算,10.4 组合变形的强度计算,下一页,上一页,返回,根据轴AB的受力情况，画出AB轴的扭矩图和弯矩图如图10-9c,d所示由图可知，固定端截面A为危险截面，其上的弯矩和扭矩值分别为 M= F´l T= Me=FR 由于在危险截面上同时作用弯矩和扭矩，故该截面上必同时存在弯曲正应力和扭转切应力，其分布情况如图10-9e所示由应力分布图可见，C、D两点的正应力和切应力均达到了最大值，因此，C、D两点为危险点，该两点的弯曲正应力和扭转切应力分别为,,,,10.4 组合变形的强度计算,下一页,上一页,返回,取C、D两点的单元体如图10-9f、g所示，它们均属于平面应力状态，故需按强度理论来建立强度条件。

对于在弯曲和扭转作用下的转轴，一般用塑性材料制成，由于其抗拉、抗压强度相同，因此，C、D两点的危险程度是相同的现取C点为例，采用第三强度理论和第四强度理论进行强度计算 由前述知，单元体C的第三、第四强度理论的相当应力分别为,,,10.4 组合变形的强度计算,上一页,返回,将 、 代入上面两式，并注意到WP=2WZ， 即得到按第三和第四强度理论建立的强度条件为,,,,≤[σ],,≤[σ],(10.15),(10.16),下一页,返回,(1) 一点和的应力状态是指受力构件内某点处在各个不同方位截面上的应力情况一点处的应力状态可采用单元体来表示 (2) 单元体上切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力过受力构件的某点，总可以找到一个主单元体，其上作用着三个主应力σ1 ≥σ2 ≥σ3 它是解释材料失效和建立强度理论的基础 (3) 平面应力状态下的主要公式 任意斜截面上的应力计算公式：,小 结,,,下一页,上一页,返回,主应力计算公式 按σ1 ≥σ2 ≥σ3定出三个主应力 主平面的方位角： 最大切应力计算公式：,小 结,,,,,下一页,上一页,返回,(4) 强度理论是关于材料失效原因的假说。

它利用单向拉伸的实验结果来建立复杂应力状态下的强度条件：σr≤[σ] 四个强度理论的相当应力分别为 其适用范围主要取决于材料的类别，通常对脆性材料用第一、第二强度理论，对塑性材料用第三、第四强度理论小 结,,,,,下一页,上一页,返回,(5) 用叠加法求解组合变形强度问题的步骤是： ① 对杆件进行受力分析，确定杆件是由哪些基本变形的组合 ② 分别画出各基本变形的内力图 ③ 确定危险截面上危险点的应力分布 ④ 运用强度理论进行计算 (6) 弯曲与拉伸或压缩组合变形，对于塑性材料，其强度条件为：,小 结,,≤[σ],上一页,返回,对于脆性材料，需分别按最大拉应力和最大压力进行强度计算 (7) 弯曲与扭转组合变形的塑性材料圆轴，其强度条件为 ≤[σ] ≤[σ],小 结,,,返回,,,,(a) (b),图 10-3,返回,,,,图 10-5,返回,,,,(a),(c),(b),(e),(d),(g),(f),图 10-9,返回,,,,(a),(c),(b),(e),(d),(g),(f),图 10-9,返回,,,,(a),(c),(b),。