量子力学常用数学公式.pdf

量子力学常用积分公式 (1)dxex a n ex a dxex axnaxnaxn ∫∫ − −= 1 1 )0(n (2))cossin(sin 22 bxbbxa ba e bxdxe ax ax − + = ∫ (3)= ∫ axdxeaxcos)sincos( 22 bxbbxa ba eax + + (4)axx a ax a axdxxcos 1 sin 1 sin 2 −= ∫ (5)= ∫ axdxxsin 2 ax a x a ax a x cos) 2 (sin 2 2 22 −+ (6)ax a x ax a axdxxsincos 1 cos 2 += ∫ (7ax aa x ax a x axdxxsin) 2 (cos 2 cos 3 2 2 2 −+= ∫ ) )ln( 2 2 22 caxxa a c cax x ++++(0a) (8)∫=+dxcax2 )arcsin( 22 2 x c a a c cax x− − ++(aa) (10)∫ ∞ = 0 sin dx x ax 2 π −(0=an正整数) (12) a dxe ax π 2 1 0 2 = ∫ ∞ − (13) 121 0 2 2 !)!12( 2 ++ ∞ − − = ∫nn axn a n dxex π (14) 1 0 12 2 ! 2 + ∞ −+ = ∫n axn a n dxex (15) 2 sin 0 2 2 a dx x axπ ∫ ∞ = (16) ∫ ∞ − + = 0 222 )( 2 sin ba ab bxdxxe ax (0a) ∫ ∞ − + − = 0 222 22 )( cos ba ba bxdxxe ax (0a) 第二章：函数与波动方程 [1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能 22 2 1 )(xmxVω=] (解)(甲法)可以用 Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:∫=nhpdq 在量子化条件中,令 ⋅ =xmp为振子动量,xq=为振子坐标,设总能量 E 则 22 222 xm m P E ω +=) 2 (2 22x m Emp ω −= 代入公式得:nhdx xm Em=− ∫ ) 2 (2 22 ω 量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅OA的四倍,要决定振幅a,注意在 A 或 B 点动能为 0, 22 2 1 amEω=,(1)改写为: nhdxxam a a =− ∫− 22 2ω(2) 积分得:nham=πω 2 遍乘 π ω 2 1 得 ω π ω ℏn h E== 2 [乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间t而不用位移x,按题意振动角频率为ω,直接 写出位移x,用t的项表示: taxqωsin== 求微分:tdtadxdqωωcos==(4) 求积分:tmaxmpωωcos== ⋅ (5) 将(4)(5)代量子化条件: nhtdtmapdq T == ∫∫0 222 cosωω T 是振动周期,T= ω π2 ,求出积分,得 nham=πω 2 ω π ω ℏnn h E== 2 3 , 2 , 1=n正整数 # [2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为.,,cba (解)三维问题,有三个独立量子化条件, 可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时, 与此壁正交方向的分动量变号(如 pp xx −→),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完 成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件: pp n qp x a x x xx adxhd22 0 === ∫∫ (1) ppnqp y b y y yy bdyhd22 0 === ∫∫ (2) pp n qp z c z z zz cdzhd22 0 === ∫∫ (3) ppp zyx ,,都是常数,总动量平方 222 zyx pppp++=总能量是: )( 2 1 2 222 2 zyx ppp mm p E++== = ]) 2 () 2 () 2 [( 2 1 222 c h b h a h m nnn z y x ++ = ])()()[( 8 222 2 cbam hnnn z y x ++ 但3 , 2 , 1,,= nnn zyx 正整数. # [3] 平面转子的转动惯量为Ι,求能量允许值. (解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角ϕ）决定,它的运动是一种 刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的 角动量Ιω,但 ⋅ =ϕω是角速度,能量是 2 2 1 ωΙ=E 利用量子化条件,将p理解成为角动量,q理解成转角ϕ,一个周期内的运动理解成旋转一周, 则有 nhdpdq=Ι=Ι= ∫∫ ωπϕω π 2 2 0 (1) (1) 说明ω是量子化的 (2) Ι = Ι = ℏnnh π ω 2 (3 , 2 , 1=n……)(2) (3) 代入能量公式,得能量量子化公式: Ι = Ι Ι =Ι= 2 )( 22 1 22 22 ℏℏnn Eω(3) # [4]有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值. (解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r,线速度 是v,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是: r mv c Bev 2 =(1) 又利用量子化条件,令=p电荷角动量=q转角ϕ nhmrvmrvdpdq=== ∫∫ πϕ π 2 2 0 (2) 即nhmrv=(3) 由(1)(2)求得电荷动能= mc nBe mv 22 1 2 ℏ = 再 求 运 动 电 荷 在 磁 场 中 的 磁 势 能 , 按 电 磁 学 通 电 导 体 在 磁 场 中 的 势 能 = c Brev cc ***** 2 π == 场强线圈面积电流场强磁矩 ,v是电荷的旋转频率, r v v π2 =, 代入前式得 运动电荷的磁势能= mc nBe 2 ℏ (符号是正的) 点电荷的总能量=动能+磁势能=E= mc nBe 2 ℏ (3 , 2 , 1=n) # [5]对高速运动的粒子(静质量m)的能量和动量由下式给出: 2 2 2 1 c v mc E − =(1) 2 2 2 1 c v mv p − =(2) 试根据哈密顿量 2242 pccmEH+==(3) 及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度 并证明它大于光速. (解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组: p q i i H ∂ ∂ = ⋅ ,本题中v qi= ⋅ ,p pi= ,因而 2242 2 2242 pccm pc pccm p v + =+ ∂ ∂ =(4) 从前式解出p(用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度v和它的物质波的群速度vG间的关系.运用德氏的假设:kpℏ=于(3)式 右方, 又用ωℏ=E于(3)式左方,遍除h: )( 22 2 42 kkc cm ωω=+= ℏ 按照波包理论，波包群速度vG是角频率丢波数的一阶导数： 22 2 42 kc cm k vG + ∂ ∂ = ℏ = 2242 2 22 2 42 2 pccm pc kc cm kc + = + ℏ 最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而v vG =。

又按一般的波动理论，波的相速度vG是由下式规定 k vp ω υλ==（υ是频率） 利用（5）式得知 cc k cm vp += 2 22 42 ℏ （6） 故相速度（物质波的）应当超过光速 最后找出vG和vp的关系，将（1） （2）相除，再运用德氏波假设： vG c v c kp E 22 === ℏ ℏω ， v v G p c2 =（7） # [6]（1）试用 Fermat 最小光程原理导出光的折射定律 αα 2211 sinsin nn = （2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 ∫ = 0pdlδ认为mvp=则 ∫ = 0pdlδ这将导得下述折射定律 αα 1331 sinsin nn = 这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子： 2 c Ev p=仍就成立，E 是 粒子能量，从一种媒质到另一种媒质 E 仍不变，仍有 ∫ = 0pdlδ，你怎样解决矛盾？ （解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定 点 A 到定点 B 的路径是两段直线：光程 QBAQI nn 21 += 设 A，B 到界面距离是 a,b(都是常量)有 αα 2211 secsecbaI nn += 又 AB 沿界面的投影 c 也是常数，因而α1，α 2 存在约束条件： cbtgatg=+ αα 21 （2） 求(1)的变分,而将α1,α 2 看作能独立变化的,有以下极值条件 0secsec 22221111 =+= αααααα δdtgbtgaI ndn (3) 再求（2）的变分0secsec 22 2 11 2 ==+cdba d δ αααα (3)与(4)消去 α1 d和 α2 d得 αα 2211 sinsin nn =(5) [乙法]见同一图,取x为变分参数,取 0 为原点，则有: )( 22 2 22 1 xcbxaI nn −+++= 求此式变分,令之为零,有：0 )( )( 22 2 22 1 = −+ − − + = xcb xxc xa xx I nn δδ δ 这个式子从图中几何关系得知,就是(5). (2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度vG光程原理作 0= ∫ dl vG δ,依前题相速 v v G p c2 =,而cn c v v p G == 2 ,n是折射率,n是波前阵面更引起的,而 波阵面速度则是相速度vp,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理. ∫ = 0ndlδ 前一非难是将光子的传播速度v看作相速度vp的误解. # [7]当势能)(rV � 改变一常量 C 时,即crVrV+→)()( �� ,粒子的波函数与时间无关部分变 否?能量本征值变否? (解)设原来的薛定谔方程式是 0)]([ 2 22 2 =−+ψ ψ xVE m dx d ℏ 将 方 程 式 左 边 加 减 相 等 的 量ψC得 : 0]})([]{[ 2 22 2 =+−++ψ ψ CxVCE m dx d ℏ 这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解)(xψ, 从能量本征值来说,后者比前者增加了 C。

# [8]设粒子势能的极小值是 EnVmin (证)先求粒子在某一状态中的平均值能量E xdrV m E 32 2 * ])( 2 [ ∫∫∫ +∇−= υ ψψ ℏ 其中动能平均值一定为正: xd m T 32 2 * ) 2 ( ∫∫∫ ∇−=ψψ ℏ = ∫∫∫ ∇∇−∇∇−τψψψψd m }][{ 2 ** 2 ℏ = ∫∫∫∫∫∫ ∇∇+∇⋅∇−τψψτψψd m d m * 2 * 2 2 )( 2 ℏℏ 用高斯定理:τψψψψd m sd m T B ∇∇+⋅∇−= ∫∫∫∫∫ * 2 * 2 2 )( 2 ℏ�ℏ = ∫∫∫ ∇⋅∇ τ τψψd m * 2 2 ℏ 中间一式的第一项是零,因为ψ假定满足平方可积条件,因而0T因此VVTE+=,能 让能量平均值 V V min 因此 V E min 令 ψ ψ n =(本征态)则 En E=而 VEn min 得证 # [9] 设 粒 子 在 势 场)(rV � 中 运 动(1) 证 明 其 能 量 的 平 均 值 是:dx m WdxE ∫∫ ∇⋅∇==] 2 [ * 2 2 ψψ ℏ (1) 其中 W 是能量密度(2)证明能量守恒公式 0=⋅∇+ ∂ ∂ S t W � (2) 其中)( 2 * *2 ψ ψψ ∇ ∂ ∂ +∇ ∂ ∂ −= ttm 。