《矢性函数》ppt课件.ppt

《矢量分析与场论》,第2讲 矢性函数 张元中 中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院,,主要内容,1. 矢性函数的概念 2. 矢端曲线 3. 矢性函数的极限和连续性 4. 矢性函数的导数 5. 矢性函数的微分 6. 矢性函数的导数公式 教材：第1章，第1节，第2节,常矢：矢量的模和方向都保持不变 变矢：模和方向或其中之一发生变化1.矢性函数的概念,,标量函数：标量 随参量 的变化矢量函数：矢量 随参量 的变化1.矢性函数的概念,,矢性函数：设有数性变量 和变矢 ，如果对于 在某个范围 内的每一个数值， 都有一个确定的矢量和它对应，则称 为数性变量 的矢性函数，记作：,并称 为函数 的定义域1.矢性函数的概念,,矢性函数的坐标函数分量也是 的函数2.矢端曲线,,自由矢量：当两个矢量的模和方向相同时，可以认为这两个矢量相等矢端曲线： 矢量 的终点 随参量 的变化曲线 称为矢性函数 的矢端曲线，也称为矢性函数的图形2.矢端曲线,,矢量方程：,当定义随 增大的方向为 的走向，则矢端曲线 为有向曲线为矢性函数 的矢量方程2.矢端曲线,,参数方程：,矢性函数与参数方程之间有一一对应的关系。

矢性函数 对应矢端曲线 的参数方程2.矢端曲线,,例：圆柱螺旋线的参数方程（P3图1-3）：,其矢量方程为：,2.矢端曲线,,例：摆线的参数方程（P3图1-4）：,其矢量方程为：,3.矢性函数的极限和连续性,,定义：设矢性函数 在点 的某个领域内有定义（但在 处可以没有定义）， 为一常矢，若对于任意给定的正数 ，都存在一个正数 ，使当 满足 时，有：,成立，则称 为矢性函数 当 的极限，记作：,矢性函数极限与数性函数完全类似3.矢性函数的极限和连续性,,为数性函数； ， 为矢性函数，当 均存在极限矢性函数极限的运算法则,3.矢性函数的极限和连续性,,矢性函数的极限，归结为求三个数性函数的极限3.矢性函数的极限和连续性,,连续性定义：若矢性函数 在点 的某个领域内有定义，而且有：,矢性函数 在 处连续的充要条件是： 都在 处连续则称 在 处连续4.矢性函数的导数,,矢性函数的增量：,为 的增量，表示为：,4.矢性函数的导数,,导数的定义：设矢性函数 在点 的某一领域内有定义，并设 也在这个领域之内，增量的比值为：,在 时，其极限存在，则称此极限为 在 处的导数（简称导矢），表示为：,4.矢性函数的导数,,4.矢性函数的导数,,例1：圆柱螺旋线的矢量方程（P3图1-3）：,求导矢,解：,4.矢性函数的导数,,例2：设,试证明：,证：,4.矢性函数的导数,,例2：设,试证明,证：,4.矢性函数的导数,,例2：设,试证明,证：,4.矢性函数的导数,,为一单位矢量，其矢端曲线为一单位圆，因此也叫做圆函数。

亦为一单位矢量，其矢端曲线也为一单位圆4.矢性函数的导数,,是在 的割线 上的一个矢量时，其极限为 点的切线位置导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量，并始终指向对应 增大的方向5.矢性函数的微分,,微分的概念： 设有矢性函数 ，把,称为 在 处的微分微分与导矢的几何意义相同，为矢量矢端曲线的切线 ，与导矢的方向一致； ，与导矢的方向相反5.矢性函数的微分,,微分的计算表达式：,或：,矢性函数的微分，归结为求三个数性函数的微分5.矢性函数的微分,,解：,5.矢性函数的微分,,的几何意义：,矢性函数,矢性函数,微分,微分的模,5.矢性函数的微分,,的几何意义：,弧长微分,即：,矢性函数微分的模，等于（其矢端曲线的）弧微分的绝对值5.矢性函数的微分,,的几何意义：,得到：,矢性函数对（其矢端曲线的）弧长 的导数在几何上为一切向单位矢量，恒指向 增大的方向用 表示5.矢性函数的微分,,矢端切线方向的方向余弦,5.矢性函数的微分,,例4：试证明,证：,5.矢性函数的微分,,可以得到：矢端曲线的切向单位矢量的计算公式,例4：试证明,5.矢性函数的微分,解：,,例5：求圆柱螺旋线 的切向单位矢量 。

6.矢性函数的导数公式,,设矢性函数 及数性函数 在 的某个范围内可导，则以下公式成立：,（2）,（4）,6.矢性函数的导数公式,,（5）,（ ）,（6）,1.矢性函数导数公式的应用,,证明（5）：,证：,6.矢性函数的导数公式,,证明（5）：,证：令 两端取极限，得到：,6.矢性函数的导数公式,,例：设 三阶可导，证明（习题1第5题）,证：,Homework 1,,作业 P19 习题1：1，2，3，4,。