第7讲 正弦定理、余弦定理,[学生用书P70～P71])1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形形式a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sin A＝，sin B＝，sin C＝；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；＝cos A＝；cos B＝；cos C＝ 2.三角形中常用的面积公式(1)S＝ ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bcsin A＝acsin_B＝absin_C；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[做一做]1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( )A. B.C. D．1解析：选B.在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.2．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________．解析：依题意可得sin B＝，又S△ABC＝acsin B＝42，则c＝14.答案：14 1．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsin Absin Ab解的个数一解两解一解一解[做一做]3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形( )A．无解 B．有两解C．有一解 D．解的个数不确定解析：选B.∵＝，∴sin B＝ sin A＝sin 45°，∴sin B＝.又∵ac，b＝，求·的值．解析：(1)6sin A＝4sin B＝3sin C，即＝＝，由正弦定理得＝＝，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，由余弦定理得cos B＝＝.(2)∵sin ∠BAC＝sin＝cos ∠BAD＝，∴根据余弦定理可得cos ∠BAD＝＝＝，∴BD＝.答案：(1)D (2)(3)解：①因为a－2bsin A＝0，所以sin A－2sin Bsin A＝0.因为sin A≠0，所以sin B＝.又B为锐角，则B＝.②由①可知，B＝，因为b＝，根据余弦定理得7＝a2＋c2－2accos ，整理得(a＋c)2－3ac＝7.由已知a＋c＝5，则ac＝6.又a>c，可得a＝3，c＝2.于是cos A＝＝＝，所以·＝||·||cos A＝cbcos A＝2××＝1.__利用正弦、余弦定理判定三角形的形状__ 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．[解] (1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－，A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝.因为0°a，∴4
