从特殊到一般的分油问题的模型建立.docx

从特殊到一般的分油问题的模型建立【摘要】 本文主要是针对分油问题建立动态规划模型，从特殊的分油问题利用图解法求出决策方案，最后用剩余类知识将其推广到般的模型一、问题重述有一个人用装 10 斤油的瓶装了一瓶油拿到市场上去卖，正好来了两个买油 的，每人要买5 斤，但是没有秤，只有二只空瓶，一个能装7 斤油，另一个能装 3 斤油试建立模型分析应如何用这 3 个瓶把 10 斤油分成两份各为 5 斤的油二、问题分析这是一道古老的分油益智游戏题，首先将上述的问题表述为数学语言：现 有三个无刻度的容器A、B、C,容量分别为10、7、3斤容器A中装满10斤油， B、C均空，如何利用三个容器将10斤油二等分？ 一般地，我们经过一番逻辑思 索，逐项列举的图解法，可以得出其结果但是当容器A、B、C容量很大时，这 种逻辑方法就显得非常吃力因此对于这个分油问题，我们将其进行推广，记三个容器A、B、C的容量 分别为a、b、c斤，；现容器A中装满a升油，B、C均空如何利用三个容器将a 升油二等分?对于这个问题，我应用数学剩余类知识构造出数学模型，提出一种 规格化的方法进行求解三、问题假设1、 假设在每次倒油时都没有油遗失；2、 假设三个容器是干净没有污秽的；2、 假设A、B、C三个容器没有破损；3、 假设在进行上述活动时没有意外发生。

四、符号说明f：表示容器**向容器**倒入油x ： B 中的油量ky : C中的油量ku :第k次倒油时，B容器内的油改变量kv :第k次倒油时，C容器内的油改变量kD：允许决策集合五、模型的建立与求解1、基本问题解决 基于问题，我们通过逻辑推理，用最基本方法：将一容器内的油向另外的容 器中倾倒的方法，得出下面两种分油方法(方法 1 和方法 2)，并运用动态规划 模型的思想列出表格，最终得出结果方法1各容器油量的变化过程如下操作顺序A （斤）B(斤)C （斤）A1000A—B370B-C343C—A640B—C613C—A910B—C901A—B271B—C253方法2各容器油量的变化过程如下操作顺序A （斤）B(斤)C （斤）A1000A—C700C—B730A—C433C—B460A—C163C—B172B—A802C—B820A—C5232•模型构成 分油问题可看作一个多步决策问题，记第k倒油时，B中的油量为x，C中的油量为y，将二维向量s二(x ,y )定义为状态，我们用序数组 k k k k k(x, y)的变化来表示整个倒油过程，集合S' = Cx, y) |0 < x < 7,0 < y < 3 } (1) 称为状态集合，由于每次都以为着摸一个容器被灌满或者被倒空，所以允许状态 集合为S = Cx, y )y = 0,0 < x < 7, y = 3,0 < x < 7; y = 1,x = 0,7; y = 2,x = 0,7 } (2)记k次倒油时，B容器内的油改变量为u , C内油的改变量为v，将二维向量 kkd = (u ,v )定义为决策，则允许决策集合为D,由各容器的的容量可知k k kD = C(u, v) u < 7,|v| < 3 } (3)状态变化规律是S = S + d (4)k+1 k k(4)式称为状态转移律，则制定分油方案归结为如下的多步决策问题：求决策d e D，使状态S e S按照状态转移律(4)，由初始状态s = (0,0)k k 0经有限步n到状态s (5,0)。

n3.模型求解 我们可以通过编写程序，利用计算机进行求解，也可以用图解法 来处理这个问题，如图(1)所示，所有的操作应该在举行OABC的界面上进行,决策变量d沿方格线左右平移7格表示由B向A倒空油或者A向B倒满油；d kk沿方格上下平移3格，表示由A向C倒空油或者C向A倒满油；d沿方格线左 k上方135移过k行，表示B向C倒k斤油；d沿方格右下方45移过k行，表 k示C向B倒k斤油；寻求决策方案的过程即是在上述规定下，将坐标点从(0,0) 移至(0,5)的过程根据图(1)这个模型，我们还可以很快的找到问题的另外 一组解，如图(2)图(1),分油问题方案1图（2）,分油问题方案24. 结果分析 将图 1，图2 画在同一坐标轴上，如图3（虚线为图 1 方案，实线 为图 2 方案），可看到 X 轴上坐标 1,2,3,4,5,6,7 都曾被箭头所指，从而可知，利 用这三个容器可分出123,4,5,6,7,斤油这里并不要求A的容量一定是10斤5. 模型评价与推广 对于这个分油问题，我们可拓展思路，提出疑问，即3 个 容器A,B.C的容量分别为a,b,c斤，a > b > c ；现容器A中装满a斤油，B,C为 空，如何利用容器将a斤油二等分？当c=1时，自然可以将油分出1至b斤；当ch 1，时我们可以利用上述的 图解法，对问题进行求解，也可以将油分出1至b斤。

参考文献[1] 桂林师范高等专科学校学报 第 21卷第 4期[2] 沈文选•中学数学建模方法导引与解题技巧【M】长沙：湖南师范大学出 社版社 1999[3] 姜启源.数学模型【M】•北京高等教育出版社2003 7—9[4] 魏国华.实用运筹学【M】.上海复旦大学出版社1998 258—261[5] 姜启源,谢金星，叶俊.数学模型，高等教育出版社第三版。