及球有关切接问题有答案.docx

及球相关的切、接问题有答案与球相关的切、接问题2；球的体积公式 V＝431．球的表面积公式： S＝4πR πR32．与球相关的切、接问题中常有的组合：(1)正四周体与球：如图，设正四周体的棱长为 a，内切球的半径为 r，外接球的半径为 R，取 AB 的中点为 D，连结 CD，SE 为正四周体的高，在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，圆心在高 SE上的圆．由于正四周体自己的对称性，内切球和外接球的球心同为 O.此时， CO ＝OS＝R，OE＝r，SE＝23a，CE＝3a，则有 R＋r＝322 2－r2＝|CE |2＝a，解得 R＝a， R3 36a，r＝46a.12(2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，如图所a示．设正方体的棱长为 a，则|OJ |＝r＝ (r 为内切球半径 )．2②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆，则|GO |＝R＝2a.2③正方体的外接球：截面图为正方形 ACC1A1的外接圆，则 |A1O |＝R′＝32 a.(3)三条侧棱相互垂直的三棱锥的外接球：①假如三棱锥的三条侧棱相互垂直而且相等，则能够补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心． 即三棱锥 A1-AB1D 1的外接球的球心和正方体 ABCD -A1B1C1D1 的外接球的球心重合．如图，设AA1＝a，则 R＝32 a.②假如三棱锥的三条侧棱相互垂直但不相等，则能够补形为一个长方体，长方体的外2 2 2 2＋b ＋c接球的球心就是三棱锥的外接球的球心． R2＝a (l 为长方体的体对角线长 )．＝l4 4角度一：正四周体的内切球1．(2015 ·长春模拟 )若一个正四周体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则S1＝S2________.1 / 32 2 分析： 设正四周体棱长为 a，则正四周体表面积为 S1＝4· ＝ 3a 4 ·a，其内切球半径为正四周体高的14，即 r＝14·63 a＝26 πa212 a，所以内切球表面积为 S2＝4πr6＝ ，则S1＝S2 23a ＝π2 a66 3.π角度二：直三棱柱的外接球2．(2015 ·唐山统考 )如图，直三棱柱 ABC -A1B1C1 的六个极点都在半径为 1 的半球面上， AB＝AC，侧面 BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为 ( )A ．2 B．1 C. 2 D.22分析： 选 C 由题意知， 球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC＝90 °，△ABC 的外接圆圆心 N 是BC 的中点，同理△A1B1C1的外心 M 是 B1C1 的中心．设正方形 BCC1B1 的边长为 x，Rt△OMC1 中，OM＝x x，MC1＝ ，OC1＝R＝1( R 为球的半径 )，∴2 2x22＋x22＝1，即 x＝2，则 AB＝AC＝1，∴S 矩形 ABB1A1＝ 2× 1＝ 2.角度三：正方体的外接球3．一个正方体削去一个角所获得的几何体的三视图如下图 (图中三个四边形都是边长为 2 的正方形 )，则该几何体外接球的体积为________．分析： 依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴ 2R＝2 3(R 为球的半径 )，∴R＝ 3，∴球的体积 V＝433πR ＝4 3π.答案： 4 3π角度四：四棱锥的外接球4．(2014 大· 纲卷 )正四棱锥的极点都在同一球面上， 若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为 ( )2A.81π4B．16π C．9π D.27π4分析：选 A 如下图，设球半径为 R，底面中心为 O′且球心为 O，∵正四棱锥 P-ABCD中 AB＝2，∴AO′＝ 2.2∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO ＝AO′2＋OO′2 2 2 2，∴R ＝( 2) ＋(4－R) ，解得 R＝92，∴该球的表面积为 4πR ＝4π×4942＝81π，应选 A.4[类题通法 ]“切”“ 接”问题的办理规律1．“ 切”的办理解决与球的内切问题主假如指球内切多面体与旋转体，解答时第一要找准切点，经过作截面来解决．假如内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．2．“ 接”的办理把一个多面体的几个极点放在球面上即为球的外接问题．解决这种问题的重点是抓住外接的特色，即球心到多面体的极点的距离等于球的半径．[牛刀小试 ]1．(2015 云· 南一检 )假如一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于 ( )100πA ．100π B.325πC．25 π D.32分析： 选 A 易知该几何体为球，其半径为 5，则表面积为 S＝4πR ＝100 π.2．(2014 陕· 西高考 )已知底面边长为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各极点均在同一个球面上，则该球的体积为 ( )A.32π34πB．4π C．2π D.3分析： 选 D 由于该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径 r＝12 22 1＋1 ＋ 22＝1，所以 V 球＝4π 4π3× 1＝ 3 .应选 D.33．已知正六棱柱的 12 个极点都在一个半径为 3 的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为 ( )3A ．3 3 B. 3 C．2 6 D．2 3分析： 选 D 设正六棱柱的高为 h，则可得 ( 6)2＋2h24 ＝3，解得 h＝2 3.4．(2015 山· 西四校联考 )将长、宽分别为 4 和 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，获得四周体 A-BCD，则四周体 A-BCD 的外接球的体积为 ________．分析： 设 AC 与 BD 订交于 O，折起来后仍旧有 OA＝OB＝OC＝OD，∴外接球的半径r＝2 23 ＋ 45 4π＝ ，进而体积 V＝ ×2 2 3523＝125π6 .5．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的极点和底面圆周在球 O 的球面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为 ________．分析： 设等边三角形的边长为 2a，则 V 圆锥＝132· aπ· 3a＝33 2 2πa ；又 R ＝a ＋( 3a－32R) ，所以 R＝2 3 4πa，故 V 球＝·3 32 3 3a32 3π3 3＝ ，则其体积比为a279.32[高考全国课标卷真题追踪 ]1．（15 课标 1 理）已知 A, B 是球 O 的球面上两点，0AOB 90 , C 为该球面上的动点，若 O ABC 三棱锥体积的最大值为 36，则球 O的表面积为（ C ）(A) 36 (B) 64 (C) 144 (D) 2562. （13 课标 1 理）如图，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器 ,容器高 8cm,将一个球放在容器口 , 再向容器灌水 , 当球面恰巧接触水面时测得水深为 6cm,如不计容器的厚度 , 则球的体积为( A )（A）500π3 cm3（B）866πcm33（C）1372πcm33（D）2048π3 cm33.（12 课标理） 已知三棱锥 S ABC的全部极点都在球 O的球面上 , ABC 是边长为 1的正三角形 , SC为球 O的直径 , 且SC 2, 则此棱锥的体积为（ A ）4(A)26(B)36(C)23（D）224. （12 课标文）平面 截球 O的球面所得圆的半径为 1, 球心 O到平面 的距离为 2, 则此球的体积为 （ B ）（A） 6π （B）4 3π （C）4 6π （D）6 3π5. （10 新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面 , 全部棱长都为 a , 极点都在一个球面上 , 则该球的表面积为 ( B )(A)2a (B)732a (C)1132a (D)25 a6. （10 新课标文）设长方体的长、宽、高分别为 2a, a, a , 其极点都在一个球面上 , 则该球的表面积为 ( B )（A）23 a （B）26 a （C）212 a （D）224 a7．（07 新课标文）已知三棱锥 S ABC的各极点都在一个半径为 r 的球面上 , 球心 O在AB 上, SO 底面 ABC , AC 2r , 则球的体积与三棱锥体积之比是（Ｄ）Ａ. π Ｂ. 2π Ｃ. 3π Ｄ. 4π8. （13 新课标 2 文）已知正四棱锥 O ABCD的体积为3 22, 底面边长为 3 , 则以 O为球心, OA为半径的球的表面积为 24 。

9.（13新课标 1文）已知 H 是球 O的直径 AB上一点 , AH :HB 1: 2, AB 平面 , H 为垂足, 截球 O所得截面的面积为 , 则球 O的表面积为 __10. （ 11 新课标 理）已 知矩形 ABCD 的极点 都在半 径为 4 的球 O 的球 面上, 且AB 6, BC 2 3 , 则棱锥 O ABCD的体积为 8 3 .11. （11 新课标文）已知两个圆锥有公共底面 , 且两圆锥的极点和底面的圆周都在同一球面上. 若圆锥底面面积是这个球面面积的316, 则这两个圆锥中 , 体积较小者的高与体积较5大者的高的比值为13.12. （08 新课标理）一个六棱柱的底面是正六边形 , 其侧棱垂直底面 . 已知该六棱柱的极点都在同一个球面上 , 且该六棱柱的体积为98, 底面周长为 3, 那么这个球的体积为436。