切比雪夫多项式.docx

切比雪夫多项式 切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列 通常， 第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示切比雪夫多项 式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用这是因为第一类切比雪夫多项式的根(被称为 切比雪夫节点)可以用于多项式插值相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且 提供多项式在连续函数的最佳一致逼近在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程(1 — a?2) yf — xy + n2 y = 0和 i - •宀/ 入「d — wS = H相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解 这些方程是斯图姆-刘维 尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定Tq(x) = 1 Ti (x) = x 爲+i(h) = 2xTn(x)—琮_1(工).也可以用母函数表示□c-刀©(对捫=7?—01 — tol-2t.x I i2第二类切比雪夫多项式 由以下递推关系给出3 (x) = 2x此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定7^(cos(f?)) = cos(nfl)其中n = 0, 1, 2, 3, ..... «＜：■-匕是关于宀“的n次多项式，这个事实可以这么看:是：心“—山=厂"=l - +辽dr的实部(参见棣美 弗公式)，而从左边二项展开式可以看出实部中出现罕込0的项中，山口日都是偶数次的， 从而可以表示成丄一门兀厂匕的幕。

用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh⑵以及他们的反函数，则有COS 72 QJ7CCOSarccos类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程T；-际-l)Cx 二 1在多项式环R［x］上的解(e.g.,见Demeyer (2007), p.70).因此它们的表达式可通过解佩尔方 程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U 一 l(x) = 1 Tn + l(x) = xTn(x) - (1 一 x2)Un - l(x) Un(x) = xUn - l(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x%十 1(巧=(cos &) = cos((n + 1)切=COS(7213) COST? — SL11(721?) sin 1?=八门託 D—厂」门兀 - ° =xTn(x) - (l 一 x2)Un(x)正交性Tn和Un都是区间［-l,l］上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权fl dT \ 0鸯 0)為(工)/ ° < 打,n = m=0」一1 71 -炉［tt/2 : n = m=^ 0可先令x= cos(O)利用Tn (cos(0))=cos(n0)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即：\ n m\n = m其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布). 基本性质对每个非负整数n， Tn(x)和Un(x)都为n次多项式。

并且当n为偶(奇)数时，它们 是关于x的偶(奇)函数，在写成关于x的多项式时只有偶(奇)次项— 时，Tn的最高次项系数为2n - l ，n = 0时系数为1最小零偏差 对"--,在所有最高次项系数为1的n次多项式中，"‘ 一》'a '对零的 偏差最小，即它是使得f(x)在［-1,1］上绝对值的最大值最小的多项式其绝对值的最大值 为》I，分别在-1、1及f的其他n- 1个极值点上达到两类切比雪夫多项式间的关系两类切比雪夫多项式间还有如下关系：~^Tn{x) =nUn_1(x) , = 1,...爲0) = ^(Un(x)—久 _2(工)).几+10) = xTn(x) - (1 - x2)Un_{(x)Tn(x) = Un(x)—迅 US切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：27k(x) = ^TT A+a "占 4-心)5 i 2T^x) = 16rr5 -20t3+5t刼工)=32t6 - 48? + 18t2 - 1耳(x) = 64x7 - 112护 + 56x3 - 7x恥)=128z3 - 25(5/+ 160/ - 32t2 + 1為(工)=256〃 - 57&Z + 432护-120t3 + 9x前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1%VXV1%, -l%vyvl%;按颜色依次是UO, Ul, U2, U3, U4 U5.虽然图像中无法显示，我们实际有Un(1)=n+1以及Un(-1)=(n+1)(-1)n.前几个第二类切比雪夫多项式是U^x) = 8t3 - 4x U4(x) = 16/ - 12护 + 1IZ5(^) = 32t5 — 32tj + 6x Ua{x) = 64x6 — 80x4 I 24a? — 1.按切比雪夫多项式的展开式一个N次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：N卩3) = £陽几佃)n=O多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw 递推公式计算。

切比雪夫根两类的 n 次切比雪夫多项式在区间［1,1］上都有 n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称 做切比雪夫节点，因为是多项式插值时的插值点•从三角形式中可看出Tn的n个根分 别是：T; = COS \ A 1 , % = 1, . . . , 72.类似地，Un的n个根分别是:1 n.。