本科毕业论文-关于高阶导数求法及应用的探讨.doc

提供各专业全套毕业设计关于高阶导数求法及应用的探讨数理学院数学与应用数学数072本孔晓燕指导老师：兰春霞摘要：木文对高阶导数的求解技巧、拓展通式及在英他学科领域的应用等方面作了具体阐述关键词：高阶导数；技巧；应用极值问题是大学数学的重点内容之一，在高中的数学学习中也占了一定的比例而求导数是 这一部分的基础求高阶导数是求导问题的一个难点，解决这一问题的关键是找到合适的求解方 法高阶导数在工程学、经济学和物理学都有广泛的应用，对其进行研究以便提高对导数更深层 次的认识，有助于问题的发现和解决事实上，高阶导数的求解并不容易，木文通过对微积分的重新认识、報理、对其中的高阶导 数求法进行总结、归纳，对Li有的方法深入理解、剖析，从高阶导数的求解技巧、拓展公式和应 用等方面作具体阐述1高阶导数的求解技巧阅读了大量文献麻，对微积分的高阶求导的发展史、特点及其相关知识、重要性有了一定的 了解，对高阶导数的求解技巧可概括为育接法、间接法（有理分式的函数（真分式）、三角函数、 隐函数）、公式法及其运用以下作具体介绍1. 1直接法求岀函数的一阶、二阶、三阶等导数后，分析归纳出规律性，从而写出斤阶导数的表达式。

例1 ：求y = sin兀的n阶导数.解：对 丁=sinx,由三角函数的求导公式得 y' = cos x, y11 = - sinx,>,m = - cosx, >,(4) = sin x.继续求导，将出现周而复始的现象为了得到一般n阶导数公式，可将上述导数公式改写为y' = cosx =sin(x= ・ sinx = sin(x+2 与),y(4] =sinx = sin(x+4 与).一般地，可推得y（"）=sin（x+〃按）/ N_.以后作为公式使用，同理推出一系列常用函数的zi阶导数公式:(1) (T)何=a(a ・ 1)…(—n+l)xa-n;(兀”)的=/?!(〃是正整数)⑵為心（M缶.(3)(6Zx)(,r) =ax(lna)n^x)(n} =aneax; (e^)(M =a"严(4) (ln^)(/,)=(・ 1)(门);[h (1 + x)卩)=(-If1 ;X (1 + X )[1毗+处)]5)=(・1严丁：¥(a +Qx)(□) (sinA*)(/,) =sin(x+号)[sin(d无+/?)]"" =a" sin(or+b+号).(6) (cosx)(n) = cos(x+—) [cos(6/x +Z?)](/,) = a cos(ax +/?+—).例2：设尸匹,求严・x解：用直接法。

—(lnx- 1),L 2 一 .疋 x3 X'2蜒 1 ?-^[lnx-(1+-)]-—=-x 2 x, 1 t 1 y =・—lnx+—X fy” = £(ln%・ 1). A=£[hix・ 0+|)]，2 3 1 1—[In x-(l+-+-)], x 2 3依此类推，得）何=^-r^[lnx・（1+-4-肓接法的特点是：对比较简单的函数来说很方便;其缺点：对较复杂函数的高阶求导结果不容易推导1.2间接法通过怛等变形将函数分解成常用函数或其代数和,进而利用常用函数的/?阶导数公式求出它的刃阶导数1.2.1有理分式的函数（真分式）将其分解成部分分式Z和，然后用f或」一的n阶导数公式ax+b例3：设y- * J求严.・14兀 2 4 兀2.4+3 3 1 1解：先将有理分式分解为部分分式Z和十办rr的）.利用U知的结果有严孕占宀占鬥孕#F鲁阳3x100! 1 1L(7nF"(ThFj1.2.2三角函数然示用利用三角恒等式将其化成sin（6ZX+/7）,COS（6ZX+ft）的代数和的形式，sin（o¥+b）,cos（ox+b）的斤阶导数的公式例 4：已知 y = sin4 x+cos4 x ,求 y(n｝。

解：y =sin4 x+cos4 x = (sin2 x+cos2 x)2 - 2sin2 xcos2 x一 1 • 2 r 一 1 ol- cos4x 3 1 ▲=1——sirr 2x = l——? —+—cos4x ,2 2 2 4 4用cos(ax +b)的n阶导数公式，得y(")=右?4" cos(4x n与).1.2.3隐函数假设由方稈F（x.y）= 0确定y是兀的函数，若求）"）时，只需对上式求〃次关于兀的导数,方法类似于隐函数微分法，但要注意式中的y及其各阶导数八…等都是x的函数报后从 /?个求导后的等式中解出）0）例5：设方程arctan — = In+y2确定y是兀的函数，求）』 yY 1解：方程可化为 arctan 一 = 一 ln(x2 + y2) 丁 2两边对X求导,•4'1 2兀+2))」2 疋+于即 y -兀)「=兀+ yy(4)由⑷式解得再对(4)两边关于兀求导，得八()m+(yF+)F(5)-1-(『)2由(5)式解得)」=—x + y(6)再对(5)两边关于x习之导,得yn- (y” + y”+x)』)=2y')」+)」y”+ yytn由⑹式解得 ym--V，，(3-V-+l)x + y将所解代入上式得)—4(兀2 +)')(2)、X) 1.3公式法 1.3. 1莱布尼兹公式法⑴高等数学中关于两个函数乘积的高阶•导数，莱布尼兹公式已经给岀了著名的高阶导数公式, 在求解某些函数的高阶导数值时，此公式有时可以给计算起到了发现一般规律的作用。

求函数的高阶导数一般的方法是采用由低到高逐阶求导的方法,这种方法求解高阶导数的一般规律时冇时很难归纳，如果将所求的单个函数转化到乘积形式•以借助莱布尼兹公式去发现函数的高阶导数的…般规律一•阶导数的运算法则可育接移植到高阶导数，容易看出［U?刃⑴加“)v(/0对于乘法求导法则，设y =2卩，则(wv)(/,)= 严+C：严％⑴+C：严即严+...+C：严叫严+..・+严严=£ C>z)严 其k=0中w(0)=w,v(0) =Vo这个公式称为莱布尼兹公式例 6：设 y =" cosjc,求 y⑴解:令心)=gs.由已知公式有 心)=r%)T+吟). 应用莱布尼兹公式 5=5)得)2)=" cosx+5, cos(x+匕)+ 10『cos(x+2 —)+10ex cos(x+3?与)+5e' cos(x 4?与)+e' cos(x=4Z(sinx cosx)In x例7：设用莱布尼兹公式求)Z)・x解:令u(x) = lnx,v(x)=xI,由已知公式有”(“)(兀)= (-l)g)g”,J")(兀)=(・1)何爲应用莱布尼兹公式得)")=£ c：(・l)" k=0k.l} (n - k- 1)! v_fc! (■ J x{k+[}(8)通过例7与例2的同题异法的比较，知道一题可有多解，应该有选择地进行求解以求方便。

1.3.2泰勒展式法若函数/(x)按(1 Q)的幕展开的幕级数，则必是函数/(天)的Taylor展示:；z=o fl!¥ ¥因此，若得到展开式/(x)=a an(X~ a)" f特别的，fM=Si 则知f")(d)=4川n=0 n=0例 8:设 y = arctanx,求 y{n)(0).解：/*=—(-irx2,,(ixi

证明：对自然数3 2）使用归纳法(12)m = 2 时，由公式（“）（"）=£ C；”⑷N"）k=0x-k)X X y. I X f （插）/ （/i）电能w=石丽市他严=临备 缶"送缶 缶（12J（其中p} =k,p? =n - k, p、+p2 =n，a 是对适合px+p2=n的px,p2 行的），此时命题 成立假设m = k ,命题成立即f（P\） f（"2）Pk[其中自 是对所有卩+#2 +••• + /« =灯的非负整数卩，卩2,…，仇取和的，刃为任意正整数当加*+1时,记y = fj?…人,使用公式（12「和假设命题有“ f("・P)n!a ——p=o (/? - p)\（P）P!(13)其中，a 是对所有适合Pi +b +•••+“・=p的非负整p,宀…，仇取和的令 pk^ = n - p ,贝I」"i+〃2+••• +几，此时，（13）变成—£ （畑） f（P|）f（卩2） f 5） f（P】）f（P2） f 5） f （畑）wi4^Za±i—m h_ h lx—i = ni h_mz_ ... _ 2a±i 密以丿八p »! Pr Pkl “ P】！八必！ Pkl P^\-其中a 是对所有适合P\ +"2 +•••+"*+/«+]=死的非负整数p、，P2,…，Pk，Pz取和的，n力=£+1时，命题成立。

由数学归纳法知，当加为任意自然数（m3 2）,定理成立，证毕当hf2时，它是著名的莱布尼兹公式显然，该定理是莱布尼兹公式的推广例 10： e^n fx（x） = InX,（x） = sinx9f3（x） = ex,求（.f/厶）"•解：由已知公式有£5）（兀）=（・1）（小叫严）（尤）=血（兀+罟）,舟叫兀）=『兀八 2 ・其中，P\，P2，Ps是3个非负整数，求和刍 是对所有“I +“2 +〃3 =刃的〃|，02，〃3进行的因此(fj2f3)(n)=n\a(-1)(心)“I¥?sin(xpx\p2\(n- px - p2)\(・1)5・】)(卩-l)Psin(x 型)护 xPl?pllp2 \(n Pj- p2)!2.2关于复合函数高阶导数的递推式⑶F⑵= /(g⑵)的高阶导数的一般表达式：丹)⑵=& /(°)(g⑵)几(g⑵) 。